QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, a concavidade dela, os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para fazer isso, vamos usar derivadas: a primeira para ver crescimento e decrescimento e a segunda para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de . A derivada vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal de :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos resolver :
Então, para e para .

Passo 4

Agora, vamos achar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Esses pontos acontecem quando :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos o sinal de ao redor de :
  • Antes de ( ), → função está crescendo.
  • Depois de ( ), → função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente, é um máximo local.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de é:
Simplificando:

Passo 7

Vamos encontrar onde a concavidade muda, ou seja, onde :
Então, temos um possível ponto de inflexão em .

Passo 8

Para confirmar se é um ponto de inflexão, analisamos a concavidade nos intervalos ao redor de :
  • Para , → concavidade para baixo.
  • Para , → concavidade para cima.
Como a concavidade muda, é um ponto de inflexão.

Resposta

  • A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .
  • Possui um máximo local em .
  • A concavidade é para baixo em e para cima em .
  • Há um ponto de inflexão em .

Exercícios relacionados