QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, a concavidade dela, os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para fazer isso, vamos usar derivadas: a primeira para ver crescimento e decrescimento e a segunda para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
. A derivada vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal de
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos resolver
:
Então,
para
e
para
.
Passo 4
Agora, vamos achar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Esses pontos acontecem quando
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos o sinal de
ao redor de
:
- Antes de
( ), → função está crescendo. - Depois de
( ), → função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente,
é um máximo local.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de
é:
Simplificando:
Passo 7
Vamos encontrar onde a concavidade muda, ou seja, onde
:
Então, temos um possível ponto de inflexão em
.
Passo 8
Para confirmar se é um ponto de inflexão, analisamos a concavidade nos intervalos ao redor de
:
- Para
, → concavidade para baixo. - Para
, → concavidade para cima.
Como a concavidade muda,
é um ponto de inflexão.
Resposta
- A função
está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo . - Possui um máximo local em
. - A concavidade é para baixo em
e para cima em . - Há um ponto de inflexão em
.