QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função dada de forma implícita:
. Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que é uma técnica usada quando temos uma equação que relaciona
e
mas não está resolvida para
de forma explícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando você deriva algo em relação a
, se tiver
envolvido, a gente trata
como uma função de
e aplica a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se você tem uma função composta, você deriva a função externa e multiplica pela derivada da função interna.
Então, começamos diferenciando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo:
- Derivada de
: Segundo a regra da cadeia, a derivada de em relação a é .
- Derivada de
: Também usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é .
- Derivada de
: A derivada de em relação a é simplesmente 1.
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas de volta na equação original:
Perceba que
está presente nos dois primeiros termos. Vamos fatorar
para facilitar a resolução.
Passo 5
Fatorando
:
Agora, queremos isolar
para encontrar a derivada.
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada da função implícita
é: