QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente: e^y + cos(y) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função dada de forma implícita: . Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que é uma técnica usada quando temos uma equação que relaciona e mas não está resolvida para de forma explícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando você deriva algo em relação a , se tiver envolvido, a gente trata como uma função de e aplica a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se você tem uma função composta, você deriva a função externa e multiplica pela derivada da função interna.
Então, começamos diferenciando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de : Segundo a regra da cadeia, a derivada de em relação a é .
  1. Derivada de : Também usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é .
  1. Derivada de : A derivada de em relação a é simplesmente 1.

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas de volta na equação original:
Perceba que está presente nos dois primeiros termos. Vamos fatorar para facilitar a resolução.

Passo 5

Fatorando :
Agora, queremos isolar para encontrar a derivada.

Passo 6

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada da função implícita é:

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