QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa analisar a função
para encontrar onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos onde a primeira derivada
é positiva ou negativa.
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Vamos fazer uma análise de sinais:
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Então, a função está:
- Crescendo em
e - Decrescendo em
Passo 4
Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos locais. Para isso, usamos os pontos críticos
e
e verificamos a variação da derivada:
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Então, temos:
- Máximo local em
com - Mínimo local em
com
Passo 5
Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada
:
Passo 6
Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, resolvemos
:
Esse é o ponto potencial de inflexão. Vamos analisar o sinal da segunda derivada em intervalos:
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Então, a função é:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
E tem um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
apresenta:
- Crescimento em
e - Decrescimento em
- Máximo local em
com - Mínimo local em
com - Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
- Ponto de inflexão em