QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa analisar a função para encontrar onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos onde a primeira derivada é positiva ou negativa.
Resolvendo :
Então, os pontos críticos são e .
Vamos fazer uma análise de sinais:
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
Então, a função está:
  • Crescendo em e
  • Decrescendo em

Passo 4

Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos locais. Para isso, usamos os pontos críticos e e verificamos a variação da derivada:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Então, temos:
  • Máximo local em com
  • Mínimo local em com

Passo 5

Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada :

Passo 6

Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, resolvemos :
Esse é o ponto potencial de inflexão. Vamos analisar o sinal da segunda derivada em intervalos:
  • Para , escolha :
    ô
  • Para , escolha :
    ô
Então, a função é:
  • Côncava para baixo em
  • Côncava para cima em
E tem um ponto de inflexão em .

Resposta

A função apresenta:
  • Crescimento em e
  • Decrescimento em
  • Máximo local em com
  • Mínimo local em com
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em
  • Ponto de inflexão em

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