Questão Usando frações parciais, calcule
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de
usando frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com métodos de decomposição em frações parciais para resolver integrais racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão -3. Esses números são -4 e +1. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos os valores de A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de
são logaritmos naturais:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
a)
d)
(a)