^a Questão Usando frações parciais, calcule integral xx^2-3 x-4 d x.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de xx^2-3x-4 usando frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com métodos de decomposição em frações parciais para resolver integrais racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x - 4. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão -3. Esses números são -4 e +1. Então, podemos escrever:
x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x(x - 4)(x + 1) em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
x(x - 4)(x + 1) = Ax - 4 + Bx + 1
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 4)(x + 1) para eliminar as frações:
x = A(x + 1) + B(x - 4)
Expandindo os termos:
x = A x + A + B x - 4B
Agrupando os termos semelhantes:
x = (A + B)x + (A - 4B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Para os termos com x:
1 = A + B
Para os termos constantes:
0 = A - 4B

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
A = 4B
Substituindo na primeira equação:
1 = 4B + B Rightarrow 1 = 5B Rightarrow B = 15
Então,
A = 4 times 15 = 45

Passo 7

Agora que temos os valores de A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
x(x - 4)(x + 1) = 45x - 4 + 15x + 1
Simplificando:
xx^2-3x-4 = 45(x - 4) + 15(x + 1)

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral xx^2-3x-4 dx = 45 integral 1x - 4 dx + 15 integral 1x + 1 dx
As integrais de 1x - a são logaritmos naturais:
= 45 ln|x - 4| + 15 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral integral xx^2-3x-4 dx é igual a 45 ln|x - 4| + 15 ln|x + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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a) integral 3 x^2-2(x^3-2 x)^3 d x
^a Questão Calcule as seguintes integrais.
d) integral e^x sen(x) d x
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
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