^a Questão Calcule as seguintes integrais.
d) integral e^x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Nessa fórmula, a gente escolhe partes da nossa integral para ser e . A ideia é que, ao aplicar essa fórmula, a integral original fique mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos identificar u = e^x Rightarrow du = e^x , dx e dv = sen(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) na nossa integral :
Aqui, derivamos para encontrar e integramos para achar .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
integral e^x sen(x) , dx = u , v - integral v , du = e^x(-cos(x)) - integral (-cos(x)) e^x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^x Rightarrow du = e^x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes com:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sen(x)

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:

Passo 7

Observe que agora temos a integral original de volta na equação. Vamos chamar essa integral de I = integral e^x sen(x) , dx :
Substituindo na equação:

Passo 8

Agora, vamos resolver para I + I = -e^x cos(x) + e^x sen(x) :

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde integral e^x sen(x) , dx = e^x (sen(x) - cos(x))2 + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados

a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(b) f(x) = sen(-x^2 + 5)
3 . ^a Questão
(a) (3.0) Calcule integral sec (theta) d theta. Dica: Use a identidade integral sec (theta) d theta=integral sec (theta) sec (theta)+tan (theta)sec (theta)+tan (theta) d theta.
^a Questão Calcule as seguintes integrais.
a) integral 3 x^2-2(x^3-2 x)^3 d x
^a Questão Usando frações parciais, calcule integral xx^2-3 x-4 d x.