Questão 2 - Calcule
, para
. Discuta a continuidade dessa função ao longo de todo o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de
quando
se aproxima de 3, onde a função é definida por:
Além disso, vamos discutir a continuidade dessa função em todo o seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais e verificar se eles são iguais, garantindo assim a existência do limite. Também vamos explorar o conceito de continuidade de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda, ou seja,
. Quando
está se aproximando de 3 pela esquerda, estamos usando a parte da função onde
, ou seja,
.
Então:
Como a função
é contínua para todos os valores de
, podemos simplesmente substituir
por 3:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 3 pela direita, ou seja,
. Nesse caso, usamos a parte da função onde
, que é
.
Então:
A função
também é contínua para
, então podemos substituir diretamente
por 3:
Passo 4
Agora que temos os limites laterais:
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 4:
Passo 5
Para discutir a continuidade da função
em todo o seu domínio, precisamos verificar dois pontos principais:
-
Continuidade nos pontos onde a função é definida por uma única expressão: Para
, , que é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo o seu domínio. Para , , que é contínua para . -
Continuidade no ponto de transição
: Aqui, já vimos que o limite de quando se aproxima de 3 é 4. Agora, verificamos o valor da função em :
Como o limite da função quando
se aproxima de 3 é igual ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Portanto,
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
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