Questão 2 - Calcule lim x 3 f(x), para f(x)=cx^2-5, x <= 3 raizx+13, x>3. Discuta a continuidade dessa função ao longo de todo o seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de f(x) = x^2 - 5 & se x <= 3 raizx + 13 & se x > 3 quando se aproxima de 3, onde a função é definida por:
Além disso, vamos discutir a continuidade dessa função em todo o seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais e verificar se eles são iguais, garantindo assim a existência do limite. Também vamos explorar o conceito de continuidade de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx to 3^- f(x) = limx to 3^- (x^2 - 5) se aproxima de 3 pela esquerda, ou seja, limx to 3^- (x^2 - 5) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 . Quando está se aproximando de 3 pela esquerda, estamos usando a parte da função onde , ou seja, .
Então:
Como a função é contínua para todos os valores de , podemos simplesmente substituir por 3:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ raizx + 13 se aproxima de 3 pela direita, ou seja, limx to 3^+ raizx + 13 = raiz3 + 13 = raiz16 = 4 . Nesse caso, usamos a parte da função onde , que é .
Então:
A função também é contínua para , então podemos substituir diretamente por 3:

Passo 4

Agora que temos os limites laterais:
limx to 3^- f(x) = 4 e limx to 3^+ f(x) = 4
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 4:
limx to 3 f(x) = 4

Passo 5

Para discutir a continuidade da função f(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 em todo o seu domínio, precisamos verificar dois pontos principais:
  1. Continuidade nos pontos onde a função é definida por uma única expressão: Para , , que é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo o seu domínio. Para , , que é contínua para .
  2. Continuidade no ponto de transição : Aqui, já vimos que o limite de quando se aproxima de 3 é 4. Agora, verificamos o valor da função em :
Como o limite da função quando se aproxima de 3 é igual ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.
Portanto, é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

limx to 3 f(x) = 4

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