Questão (2,0) Calcule a norma induzida do vetor
com respeito ao produto interno
de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a norma induzida do vetor
no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por
. A norma induzida é baseada no produto interno definido por
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a norma a partir do produto interno.
Passo 2
A norma induzida por um produto interno é dada pela fórmula:
Isso significa que, para encontrar a norma de
, precisamos calcular o produto interno de
consigo mesmo e depois tirar a raiz quadrada desse valor.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. Primeiro, identificamos o vetor
, que no contexto de
pode ser representado como um polinômio. Supondo que
seja a função identidade
.
Passo 4
Agora, calculamos o produto interno
usando a definição dada:
Isso nos leva a calcular a integral de
de 0 a 10.
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da norma:
Resposta
A norma induzida do vetor
é
.