3^a Questão (2,0) Calcule a norma induzida do vetor x com respeito ao produto interno lang<= p, qrang<==integral0^10 p(x) q(x) d x de P^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a norma induzida do vetor no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por . A norma induzida é baseada no produto interno definido por . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a norma a partir do produto interno.

Passo 2

A norma induzida por um produto interno é dada pela fórmula:
|x| = raizlang<= x, x rang<=
Isso significa que, para encontrar a norma de , precisamos calcular o produto interno de consigo mesmo e depois tirar a raiz quadrada desse valor.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. Primeiro, identificamos o vetor , que no contexto de pode ser representado como um polinômio. Supondo que seja a função identidade .

Passo 4

Agora, calculamos o produto interno lang<= x, x rang<= = integral0^10 x cdot x , dx = integral0^10 x^2 , dx usando a definição dada:
Isso nos leva a calcular a integral de de 0 a 10.

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^10 x^2 , dx = [ x^33 ]0^10 = 10^33 - 0^33 = 10003

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da norma:
|x| = raizlang<= x, x rang<= = raiz10003 = 10raiz10raiz3 = 10raiz303

Resposta

A norma induzida do vetor é .

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