^a Questão Calcule as seguintes integrais.
a) integral 3 x^2-2(x^3-2 x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 3x^2 - 2(x^3 - 2x)^3 , dx. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que o denominador é (x^3 - 2x)^3, que é uma função composta. Vamos chamar essa função de u:
u = x^3 - 2x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para expressar du em termos de dx. Calculando a derivada:
dudx = 3x^2 - 2
Portanto,
du = (3x^2 - 2) , dx

Passo 4

Perceba que o numerador da nossa integral original é exatamente 3x^2 - 2, que multiplicado por dx du. Isso significa que podemos substituir toda a expressão da integral em termos de u:
integral 3x^2 - 2(x^3 - 2x)^3 , dx = integral duu^3

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral em termos de u:
integral duu^3 = integral u^-3 , du
Para integrar u^-3, usamos a regra da potência para integrais, que diz que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração e n neq -1.

Passo 6

Aplicando a regra da potência:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que u = x^3 - 2x, substituímos u na expressão:
-12u^2 + C = -12(x^3 - 2x)^2 + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac12 (x^3 - 2x)^2 + C.

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