_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
© integral1^2 t^3+t+1t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração de funções polinomiais e racionais. Vamos precisar lembrar das regras básicas de integração para cada termo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em três partes separadas para facilitar o cálculo:
integral1^2 t^3 , dt + integral1^2 t , dt + integral1^2 1t^3 , dt

Passo 3

Vamos integrar cada termo individualmente.
  1. Integrando integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C :
A regra geral para integrar integral t^3 , dt = t^44 onde integral t , dt = t^22 é:
integral t^-3 , dt = t^-2-2 = -12t^2
Aplicando isso para :
  1. Integrando :
Usando a mesma regra com :
  1. Integrando :
Primeiro, reescrevemos como . Aplicando a regra com :

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo junto e calcular os valores nos limites de integração de 1 a 2:
[ t^44 ]1^2 + [ t^22 ]1^2 + [ -12t^2 ]1^2
Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 4 - 0,25 = 3,75
  1. Segundo termo:
2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
  1. Terceiro termo:
-12 cdot 2^2 + 12 cdot 1^2 = -18 + 12 = -0,125 + 0,5 = 0,375

Resposta

Somando todos os resultados:
3,75 + 1,5 + 0,375 = 5,625
Portanto, o valor da integral definida é 5,625.

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