_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(i)
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Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício pra calcular uma integral definida. Isso está relacionado com o cálculo de áreas sob curvas. O que vamos precisar aqui é encontrar a antiderivada da função
e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral definida, a gente precisa achar a antiderivada da função que está dentro da integral. A antiderivada é essencialmente a função que, quando derivada, dá a função original.
No nosso caso, a função é
. Vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente.
Passo 3
Para o primeiro termo
, a antiderivada é:
Explicando: aumentamos o expoente em 1 (de 5 para 6) e dividimos o coeficiente pelo novo expoente.
Passo 4
Agora, para o segundo termo
, a antiderivada é:
O mesmo processo: aumentamos o expoente em 1 (de 3 para 4) e dividimos pelo novo expoente.
Passo 5
Agora, juntando as duas antiderivadas, temos a antiderivada completa da função:
Como estamos calculando uma integral definida, o constante
não é necessário.
Passo 6
Em seguida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de
a
. Isso significa que vamos calcular:
Isso equivale a:
Passo 7
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, subtraindo os resultados:
Resposta
O valor da integral definida é 0.