_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(i) integral-1^0(3 u^5-2 u^3) d u

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício pra calcular uma integral definida. Isso está relacionado com o cálculo de áreas sob curvas. O que vamos precisar aqui é encontrar a antiderivada da função e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral definida, a gente precisa achar a antiderivada da função que está dentro da integral. A antiderivada é essencialmente a função que, quando derivada, dá a função original.
No nosso caso, a função é . Vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente.

Passo 3

Para o primeiro termo integral 3u^5 du = 3 cdot u^66 = u^62 , a antiderivada é:
Explicando: aumentamos o expoente em 1 (de 5 para 6) e dividimos o coeficiente pelo novo expoente.

Passo 4

Agora, para o segundo termo integral -2u^3 du = -2 cdot u^44 = -u^42 , a antiderivada é:
O mesmo processo: aumentamos o expoente em 1 (de 3 para 4) e dividimos pelo novo expoente.

Passo 5

Agora, juntando as duas antiderivadas, temos a antiderivada completa da função:
u^62 - u^42 + C
Como estamos calculando uma integral definida, o constante não é necessário.

Passo 6

Em seguida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de [ u^62 - u^42 ]-1^0 a ( 0^62 - 0^42 ) - ( (-1)^62 - (-1)^42 ) . Isso significa que vamos calcular:
Isso equivale a:

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para 0^62 - 0^42 = 0 - 0 = 0 :
(-1)^62 - (-1)^42 = 12 - 12 = 0
Para :

Passo 8

Agora, subtraindo os resultados:
0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

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