Se
é a receita proveniente da venda de
ítens,
é o custo da produção de
ítens e
é o lucro sobre a venda de
ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção (
ítens) são dados, respectivamente por
. Suponha que
, em que
representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três funções:
- Receita:
- Custo:
- Lucro:
Aqui,
representa milhares de unidades produzidas. O que a questão quer saber é se existe um nível de produção que maximize o lucro e outro que minimize o custo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos e mínimos das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função lucro
. Sabemos que lucro é receita menos custo:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 3
Agora, para encontrar o nível de produção que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro
é zero, ou seja,
. Isso nos dá os candidatos a máximos ou mínimos.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Vamos resolver a equação
:
Podemos dividir toda a equação por -3 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para determinar qual desses pontos é um máximo, vamos analisar a segunda derivada da função lucro
:
Agora, vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o nível de produção que minimiza o custo. Para isso, analisamos a função custo
.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos do custo, resolvemos
:
Dividindo toda a equação por 3:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo (
), não existem soluções reais. Isso significa que a função custo
não possui pontos de mínimo ou máximo no domínio real.
Resposta
Sim, existe um nível de produção que maximiza o lucro, que é
milhares de unidades. Não há um nível de produção que minimize o custo dentro dos valores reais de
.
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