Se r(x) é a receita proveniente da venda de x ítens, c(x) é o custo da produção de x ítens e p(x) = r(x) - c(x) é o lucro sobre a venda de x ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção ( x ítens) são dados, respectivamente por d r/dx, d c/dx, d p/dx. Suponha que r(x) = 9 x, c(x) = x^3 - 6 x^2 + 15 x, em que x representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três funções:
  • Receita:
  • Custo:
  • Lucro:
Aqui, representa milhares de unidades produzidas. O que a questão quer saber é se existe um nível de produção que maximize o lucro e outro que minimize o custo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar máximos e mínimos das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função lucro . Sabemos que lucro é receita menos custo:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 3

Agora, para encontrar o nível de produção que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro é zero, ou seja, . Isso nos dá os candidatos a máximos ou mínimos.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos resolver a equação :
Podemos dividir toda a equação por -3 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Para determinar qual desses pontos é um máximo, vamos analisar a segunda derivada da função lucro :
Agora, vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o nível de produção que minimiza o custo. Para isso, analisamos a função custo .
Vamos calcular a derivada de :

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos do custo, resolvemos :
Dividindo toda a equação por 3:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ( ), não existem soluções reais. Isso significa que a função custo não possui pontos de mínimo ou máximo no domínio real.

Resposta

Sim, existe um nível de produção que maximiza o lucro, que é milhares de unidades. Não há um nível de produção que minimize o custo dentro dos valores reais de .

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