_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
11. integral x sec ^2(x^2+7) d x

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral indefinida integral x sec^2(x^2+7) dx. O conteúdo envolve técnicas de integração, especificamente a substituição, que é útil quando temos uma função composta.

Passo 2

Observamos que a expressão dentro do cosseno está ao quadrado e somada com 7, ou seja, x^2 + 7. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando uma substituição apropriada.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para substituir a parte complicada da integral. Definimos:
u = x^2 + 7
Essa substituição nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais simples.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o diferencial de u, ou seja, du, em termos de x e dx. Derivando u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que podemos expressar x , dx como du2.

Passo 5

Substituindo u e du na integral original:
integral x sec^2(x^2 + 7) , dx = integral sec^2(u) cdot du2 = 12 integral sec^2(u) , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Sabemos que a integral de sec^2(u) em relação a u é tan(u) + C, onde C é a constante de integração. Então:
12 integral sec^2(u) , du = 12 tan(u) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
12 tan(x^2 + 7) + C

Resposta

A integral é igual a 12 tan(x^2 + 7) + C.

Exercícios relacionados