_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
41. integral x(x^2+16)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aqui: . O conteúdo envolve técnicas de integração, especificamente substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador u = x^2 + 16 sugere que podemos usar uma substituição. Vamos chamar de . Então:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para substituir o diferencial . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du2 em termos de . Rearranjando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos integral x(x^2+16)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du e na integral original:

Passo 6

Agora, integramos 12 integral u^-2 , du = 12 ( u^-1-1 ) + C = -12u + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos -12u + C = -12(x^2 + 16) + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é:
integral x(x^2+16)^2 , dx = -12(x^2 + 16) + C

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