_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
15. integral x 5^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da diferenciação e é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha certa facilita bastante a resolução.

Passo 3

Na nossa integral u = x e dv = 5^x , dx , vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx (x) , dx = 1 , dx e v = integral 5^x , dx :
integral a^x , dx = a^xln a + C
Para encontrar v = 5^xln 5 , integramos :
Sabemos que:
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a f��rmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo nossos valores:
integral x cdot 5^x , dx = x cdot 5^xln 5 - integral 5^xln 5 cdot 1 , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= x cdot 5^xln 5 - 1ln 5 integral 5^x , dx
Já sabemos como integrar integral 5^x , dx = 5^xln 5 + C :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
= x cdot 5^xln 5 - 1ln 5 cdot 5^xln 5 + C
Simplificando os termos:
= x cdot 5^xln 5 - 5^x(ln 5)^2 + C

Resposta

A integral de integral x cdot 5^x , dx = x cdot 5^xln 5 - 5^x(ln 5)^2 + C em relação a é:

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