_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
51. integral raizx+4x d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral raizx+4x , dx. Para isso, vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = raizx + 4.

Passo 3

Com u = raizx + 4, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar x em termos de u:
u^2 = x + 4 implies x = u^2 - 4

Passo 4

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar dx:
dudx = 12raizx + 4 implies dx = 2u , du

Passo 5

Substituímos x e dx na integral original:
integral uu^2 - 4 cdot 2u , du = 2 integral u^2u^2 - 4 , du

Passo 6

Simplificamos a fração dentro da integral:
u^2u^2 - 4 = 1 + 4u^2 - 4
Então, a integral fica:
2 integral (1 + 4u^2 - 4) , du = 2 integral 1 , du + 8 integral 1u^2 - 4 , du

Passo 7

Calculamos cada parte separadamente:
  1. 2 integral 1 , du = 2u
    2. Para a segunda integral, reconhecemos que integral 1u^2 - a^2 , du = 12a ln | u - au + a | + C. Aqui, a = 2:
8 integral 1u^2 - 4 , du = 8 cdot 14 ln | u - 2u + 2 | = 2 ln | u - 2u + 2 |

Passo 8

Finalmente, substituímos u = raizx + 4 de volta na expressão:
2u + 2 ln | u - 2u + 2 | + C = 2raizx + 4 + 2 ln | raizx + 4 - 2raizx + 4 + 2 | + C

Resposta

integral raizx+4x , dx = 2raizx +4 + 2 ln | raizx +4 -2raizx +4 +2 | + C

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