_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
20. integral(1+sec (x))^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com integração e vamos usar algumas técnicas de expansão e integração de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado dentro da integral. Lembre-se que (1 + sec(x))^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot sec(x) + sec^2(x) = 1 + 2sec(x) + sec^2(x) . Aplicando isso na nossa função:

Passo 3

Agora, substituímos a expansão na integral original:
integral(1 + 2sec(x) + sec^2(x)) dx
Essa integral pode ser dividida em três partes separadas:
integral 1 , dx + integral 2sec(x) , dx + integral sec^2(x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
  1. Primeira Integral:
integral 1 , dx = x
  1. Segunda Integral:
integral 2sec(x) , dx = 2 integral sec(x) , dx
A integral de integral sec(x) , dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C é conhecida:
2 integral sec(x) , dx = 2ln|sec(x) + tan(x)|
Então:
integral sec^2(x) , dx
  1. Terceira Integral:
integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C
Sabemos que:

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
x + 2ln|sec(x) + tan(x)| + tan(x) + C

Resposta

A integral x + 2ln|sec(x) + tan(x)| + tan(x) + C é igual a:

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