_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
35.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com técnicas de integração, especificamente frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como uma soma de frações mais simples. Suponhamos que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos -A + B + 4(-A) = 0 Rightarrow -A + B - 4A = 0 Rightarrow B = 5A .
Substituindo -6A - 3(5A) + 4(-A) = 1 Rightarrow -6A -15A -4A = 1 Rightarrow -25A = 1 Rightarrow A = -125 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os valores de 1(x+2)^2(x-3) = -125x+2 + -15(x+2)^2 + 125x-3 , 1(x+2)^2(x-3) = -125(x+2) - 15(x+2)^2 + 125(x-3) e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora podemos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x+2)^2(x-3) = -125 integral dxx+2 - 15 integral dx(x+2)^2 + 125 integral dxx-3
Passo 9
Integrando cada termo:
-125 ln|x+2| - 15 ( -1x+2 ) + 125 ln|x-3| + C
Simplificando:
-125 ln|x+2| + 15(x+2) + 125 ln|x-3| + C
Resposta
A integral -125 ln|x+2| + 15(x+2) + 125 ln|x-3| + C é igual a: