_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
35. integral d x(x+2)^2(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com técnicas de integração, especificamente frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(x+2)^2(x-3) = Ax+2 + B(x+2)^2 + Cx-3 em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como uma soma de frações mais simples. Suponhamos que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = A(x+2)(x-3) + B(x-3) + C(x+2)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
1 = A(x^2 - x - 6) + B(x - 3) + C(x^2 + 4x + 4)
1 = (A + C)x^2 + (-A + B + 4C)x + (-6A - 3B + 4C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
A + C = 0 -A + B + 4C = 0 -6A - 3B + 4C = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos -A + B + 4(-A) = 0 Rightarrow -A + B - 4A = 0 Rightarrow B = 5A .
Substituindo -6A - 3(5A) + 4(-A) = 1 Rightarrow -6A -15A -4A = 1 Rightarrow -25A = 1 Rightarrow A = -125 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de 1(x+2)^2(x-3) = -125x+2 + -15(x+2)^2 + 125x-3 , 1(x+2)^2(x-3) = -125(x+2) - 15(x+2)^2 + 125(x-3) e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora podemos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x+2)^2(x-3) = -125 integral dxx+2 - 15 integral dx(x+2)^2 + 125 integral dxx-3

Passo 9

Integrando cada termo:
-125 ln|x+2| - 15 ( -1x+2 ) + 125 ln|x-3| + C
Simplificando:
-125 ln|x+2| + 15(x+2) + 125 ln|x-3| + C

Resposta

A integral -125 ln|x+2| + 15(x+2) + 125 ln|x-3| + C é igual a:

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