_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
66.

Passo 1

Beleza, então temos que calcular a integral indefinida de √(1 + 4x²) dx. Isso está relacionado com o cálculo de integrais que envolvem funções quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar u = 2x. Isso significa que du/dx = 2, ou seja, du = 2 dx. Então, podemos reescrever dx em termos de du: dx = du/2.

Passo 3

Agora, substituindo u na integral original, temos:
∫√(1 + 4x²) dx = ∫√(1 + (2x)²) dx = ∫√(1 + u²) * (du/2) = (1/2) ∫√(1 + u²) du.

Passo 4

A integral de √(1 + u²) du é uma forma padrão que podemos resolver usando a seguinte fórmula:
∫√(1 + u²) du = (u/2)√(1 + u²) + (1/2) ln(u + √(1 + u²)) ) + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a fórmula na nossa integral, temos:
(1/2) * [(u/2)√(1 + u²) + (1/2) ln(u + √(1 + u²)) ] + C
Simplificando um pouco:
= (u/4)√(1 + u²) + (1/4) ln(u + √(1 + u²)) + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta por 2x:
= (2x/4)√(1 + (2x)²) + (1/4) ln(2x + √(1 + (2x)²)) + C
Simplificando mais:
= (x/2)√(1 + 4x²) + (1/4) ln(2x + √(1 + 4x²)) + C

Resposta

A integral de √(1 + 4x²) dx é igual a (x/2)√(1 + 4x²) + (1/4) ln(2x + √(1 + 4x²)) + C.

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