_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
38. integral e^2 theta sin (3 theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral e^2 theta sin (3 theta) d theta. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções como exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Onde escolhemos u e dv de forma que suas derivadas e integrais sejam mais simples de trabalhar.

Passo 3

Vamos identificar u e dv na nossa integral:
  • Seja u = sin(3theta), então du = 3cos(3theta) dtheta
  • Seja dv = e^2theta dtheta, então v = e^2theta2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^2theta sin(3theta) dtheta = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
= sin(3theta) cdot e^2theta2 - integral e^2theta2 cdot 3cos(3theta) dtheta
= e^2theta sin(3theta)2 - 32 integral e^2theta cos(3theta) dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral integral e^2theta cos(3theta) dtheta usando integração por partes novamente:
  • Seja u = cos(3theta), então du = -3sin(3theta) dtheta
  • Seja dv = e^2theta dtheta, então v = e^2theta2

Passo 6

Aplicando integração por partes na segunda integral:
integral e^2theta cos(3theta) dtheta = cos(3theta) cdot e^2theta2 - integral e^2theta2 cdot (-3sin(3theta)) dtheta
= e^2theta cos(3theta)2 + 32 integral e^2theta sin(3theta) dtheta

Passo 7

Substituindo essa expressão de volta na equação anterior:
integral e^2theta sin(3theta) dtheta = e^2theta sin(3theta)2 - 32 ( e^2theta cos(3theta)2 + 32 integral e^2theta sin(3theta) dtheta )
Simplificando:
integral e^2theta sin(3theta) dtheta = e^2theta sin(3theta)2 - 3 e^2theta cos(3theta)4 - 94 integral e^2theta sin(3theta) dtheta

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos que têm a integral que estamos procurando:
integral e^2theta sin(3theta) dtheta + 94 integral e^2theta sin(3theta) dtheta = e^2theta sin(3theta)2 - 3 e^2theta cos(3theta)4
(1 + 94) integral e^2theta sin(3theta) dtheta = e^2theta sin(3theta)2 - 3 e^2theta cos(3theta)4
134 integral e^2theta sin(3theta) dtheta = e^2theta sin(3theta)2 - 3 e^2theta cos(3theta)4

Passo 9

Agora, isolamos a integral:
integral e^2theta sin(3theta) dtheta = ( 413 ) ( e^2theta sin(3theta)2 - 3 e^2theta cos(3theta)4 )
Simplificando:
= 2 e^2theta sin(3theta)13 - 3 e^2theta cos(3theta)13 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^2 theta sin (3 theta) d theta = 2 e^2theta sin(3theta) - 3 e^2theta cos(3theta)13 + C

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