_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
22. integral sin (3 theta)1+cos (3 theta) d theta

Passo 1

Beleza! A questão pede para calcular a integral indefinida integral sin (3 theta)1+cos (3 theta) d theta. Vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição, para resolver essa integral de forma tranquila.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando. Observamos que o numerador, sin(3theta), parece estar relacionado à derivada do denominador, 1 + cos(3theta). Isso é uma dica de que podemos usar substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Definimos uma nova variável u igual ao denominador:
u = 1 + cos(3theta)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a theta para substituir dtheta na integral. Calculando a derivada:
dudtheta = -3 sin(3theta)
Isso nos dá:
du = -3 sin(3theta) dtheta implies sin(3theta) dtheta = -13 du

Passo 5

Substituímos u e du na integral original:
integral sin (3 theta)1+cos (3 theta) d theta = integral -13 duu = -13 integral duu

Passo 6

A integral integral duu é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de u. Portanto:
-13 ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos em theta:
-13 ln |1 + cos(3theta)| + C

Resposta

A integral é:
-13 ln |1 + cos(3theta)| + C

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