_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
8. integral x^3 cos (x^4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Técnicas de Integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que dentro do cosseno temos u = x^4 . Vamos usar isso como nossa substituição.
Definimos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 dx para encontrar du4 = x^3 dx :
Isso significa que:
Ou, rearranjando:

Passo 4

Substituímos integral x^3 cos (x^4) dx = integral cos(u) cdot du4 e 14 integral cos(u) du na integral original:
Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 5

Agora, integramos integral cos(u) du = sin(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos 14 sin(u) + C = 14 sin(x^4) + C de volta para termos em :

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3 cos (x^4) dx = 14 sin(x^4) + C

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