_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
31. integral d xx(x^2+3)

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral dxx(x^2+3). Vamos utilizar técnicas de frações parciais, que nos ajudam a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1x(x^2+3) em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas ou mais frações com denominadores mais simples. Suponhamos que exista constantes 1x(x^2+3) = Ax + Bx + Cx^2+3 e 1x(x^2+3) = Ax + Bx^2+3 tais que:
No nosso caso, como o denominador é de ordem 2 e não possui termos lineares adicionais, podemos simplificar a suposição para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(x^2+3) + Bx e 1 = A x^2 + 3A + Bx . Multiplicamos ambos os lados da equação por A = 0 (coeficiente de x^2) B = 0 (coeficiente de x) 3A = 1 (termo constante) para eliminar os denominadores:
1x(x^2+3) = Ax + Bx + Cx^2+3
Explicando: Multiplicamos cada termo por 1 = A(x^2+3) + (Bx + C)x para simplificar a equação.
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos semelhantes:
1 = A x^2 + 3A + B x^2 + C x
Isso nos dá o sistema de equações:
1 = (A + B) x^2 + C x + 3A
Resolvendo o sistema:
De A + B = 0 (coeficiente de x^2) C = 0 (coeficiente de x) 3A = 1 (termo constante) , temos 1x(x^2+3) = 13x - 13xx^2+3 .
Como e não fazem sentido juntos, percebemos que houve um erro na suposição inicial.
Vamos corrigir a decomposição considerando que o numerador da segunda fração pode ter um termo linear:
Multiplicando ambos os lados por :
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , temos .
De , temos .
Então, a decomposição correta é:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x^2+3) = integral ( 13 cdot 1x - 13 cdot xx^2+3 ) dx
Integrando termo a termo:
  1. -13 integral xx^2+3 dx = -13 cdot 12 integral duu = -16 ln |u| + C2 = -16 ln |x^2+3| + C2
    Aqui usamos a integral básica
  2. Para este, fazemos uma substituição simples:
    Seja , então , ou seja,
    Portanto:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral dxx(x^2+3) = 13 ln |x| - 16 ln |x^2+3| + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados