_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
31.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Vamos utilizar técnicas de frações parciais, que nos ajudam a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas ou mais frações com denominadores mais simples. Suponhamos que exista constantes e tais que:
No nosso caso, como o denominador é de ordem 2 e não possui termos lineares adicionais, podemos simplificar a suposição para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Explicando: Multiplicamos cada termo por para simplificar a equação.
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Como e não fazem sentido juntos, percebemos que houve um erro na suposição inicial.
Vamos corrigir a decomposição considerando que o numerador da segunda fração pode ter um termo linear:
Multiplicando ambos os lados por :
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , temos .
De , temos .
Então, a decomposição correta é:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
  1. Aqui usamos a integral básica
  2. Para este, fazemos uma substituição simples:
    Seja , então , ou seja,
    Portanto:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
onde é a constante de integração.

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