_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
31.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida . Vamos utilizar técnicas de frações parciais, que nos ajudam a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas ou mais frações com denominadores mais simples. Suponhamos que exista constantes e tais que:
No nosso caso, como o denominador é de ordem 2 e não possui termos lineares adicionais, podemos simplificar a suposição para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Explicando: Multiplicamos cada termo por para simplificar a equação.
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Como e não fazem sentido juntos, percebemos que houve um erro na suposição inicial.
Vamos corrigir a decomposição considerando que o numerador da segunda fração pode ter um termo linear: