_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
31.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida . Vamos utilizar técnicas de frações parciais, que nos ajudam a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para isso, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas ou mais frações com denominadores mais simples. Suponhamos que exista constantes e tais que:
No nosso caso, como o denominador é de ordem 2 e não possui termos lineares adicionais, podemos simplificar a suposição para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Explicando: Multiplicamos cada termo por para simplificar a equação.
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De A + B = 0 (coeficiente de x^2) C = 0 (coeficiente de x) 3A = 1 (termo constante) , temos 1x(x^2+3) = 13x - 13xx^2+3 .
Como e não fazem sentido juntos, percebemos que houve um erro na suposição inicial.
Vamos corrigir a decomposição considerando que o numerador da segunda fração pode ter um termo linear:
Multiplicando ambos os lados por :
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , temos .
De , temos .
Então, a decomposição correta é:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x^2+3) = integral ( 13 cdot 1x - 13 cdot xx^2+3 ) dx