_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
39.
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Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Estamos lidando com um exercício de cálculo de integrais que envolve frações racionais. Para resolver, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração original como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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