_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
39. integral d x(x+3)(x-5)

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Estamos lidando com um exercício de cálculo de integrais que envolve frações racionais. Para resolver, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração 1(x+3)(x-5) = Ax+3 + Bx-5 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração original como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 1 = A(x - 5) + B(x + 3) e 1 = A x - 5A + B x + 3B , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = (A + B)x + (-5A + 3B) :
A + B = 0 (coeficiente de x)
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
-5A + 3B = 1 (termo constante)
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos -5A + 3(-A) = 1 . Substituindo na segunda equação:
-5A - 3A = 1
-8A = 1
A = -18
Então, .

Passo 5

Agora que temos os valores de 1(x+3)(x-5) = -18 cdot 1x+3 + 18 cdot 1x-5 e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x+3)(x-5) = -18 integral dxx+3 + 18 integral dxx-5
Integrando:
-18 ln|x+3| + 18 ln|x-5| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
-18 ln|x+3| + 18 ln|x-5| + C

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