_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
39.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Estamos lidando com um exercício de cálculo de integrais que envolve frações racionais. Para resolver, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração original como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 5

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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