_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
56. integral x-19+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente das técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar saber como integrar frações que envolvem funções racionais, ou seja, funções onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração x-19+x^2 = x9+x^2 - 19+x^2 em duas partes para facilitar a integração. Podemos escrever:
Isso nos permite lidar com cada termo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
  1. Integral de integral x9+x^2 , dx = integral 12 cdot 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(9 + x^2) + C :
    Para integrar integral 19+x^2 , dx = 13 arctan(x3) + C , notamos que o numerador é a derivada do denominador . Isso sugere que podemos usar uma substituição simples.
    Seja , então , ou seja, .
    Substituindo na integral:
  2. Integral de :
    Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente.

Passo 4

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
integral x-19+x^2 , dx = integral x9+x^2 , dx - integral 19+x^2 , dx
Substituindo pelos resultados obtidos:
= 12 ln(9 + x^2) - 13 arctan(x3) + C

Resposta

integral x-19+x^2 , dx = 12 ln(9 + x^2) - 13 arctan(x3) + C

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