Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
u) lim x 3 e^x-3-12 x-6=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 3 da expressão . Vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente quando temos uma forma que dá , e saber um pouco sobre funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir e^3-3 - 12 times 3 - 6 = e^0 - 16 - 6 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A forma é indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se temos:
limx to a f'(x)g'(x)
então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Vamos aplicar isso aqui.

Passo 4

Vamos identificar f(x) = e^x-3 - 1 g(x) = 2x - 6 e f'(x) = ddx ( e^x-3 - 1 ) = e^x-3 g'(x) = ddx (2x - 6) = 2 :
Agora, vamos derivar cada um:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 3 e^x-3 - 12x - 6 = limx to 3 e^x-32
Agora, vamos substituir e^3-32 = e^02 = 12 :

Resposta

O limite é .

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