Questão 5: Calcule o volume do sólido Q limitado inferiormente pelo cone S1, de equação x² + y² = z², e superiormente pela esfera S2, de equação x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: um cone com a equação e uma esfera com a equação . Vamos usar conceitos de cálculo de volumes, principalmente integrando em coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o cone e a esfera se intersectam. Para isso, podemos igualar as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Então, as soluções são e . Isso significa que o cone e a esfera se intersectam nos planos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido . Para entre 0 e 1, a esfera está acima do cone. Portanto, o volume que queremos é a região entre o cone e a esfera, de a .

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenada, a equação do cone fica e a da esfera fica . Resolvendo para , temos:

Passo 5

O próximo passo é configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui,:
  • varia de 0 a porque a simetria é completa ao redor do eixo .
  • varia de 0 a 1, conforme encontramos na interseção.
  • varia do cone até a esfera .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é .

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