Questão 5: Calcule o volume do sólido
limitado inferiormente pelo cone
, de equação
, e superiormente pela esfera
, de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido
que está limitado por duas superfícies: um cone
com a equação
e uma esfera
com a equação
. Vamos usar conceitos de cálculo de volumes, principalmente integrando em coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o cone e a esfera se intersectam. Para isso, podemos igualar as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Então, as soluções são
e
. Isso significa que o cone e a esfera se intersectam nos planos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido
. Para
entre 0 e 1, a esfera está acima do cone. Portanto, o volume que queremos é a região entre o cone e a esfera, de
a
.
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessa coordenada, a equação do cone
fica
e a da esfera
fica
. Resolvendo para
, temos:
Passo 5
O próximo passo é configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui,:
-
varia de 0 a porque a simetria é completa ao redor do eixo . -
varia de 0 a 1, conforme encontramos na interseção. -
varia do cone até a esfera .
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
.