Verifique se u_xy = u_yx u = x * y * e^y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se as derivadas parciais cruzadas de uma função são iguais, ou seja, se . A função que temos é . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que isso significa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando a gente varia só essa variável, mantendo a outra constante. No nosso caso, é uma função de e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Como e são tratados como constantes quando derivamos em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, dessa vez derivando em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a :

Passo 5

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, usamos a regra do produto, já que tem duas partes que dependem de :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando em relação a , ou seja, . Como e são constantes em relação a , derivamos :

Resposta

Como e , então . Portanto, as derivadas parciais cruzadas são iguais.

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