Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se as derivadas parciais cruzadas de uma função são iguais, ou seja, se
. A função que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que isso significa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando a gente varia só essa variável, mantendo a outra constante. No nosso caso,
é uma função de
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Como
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, dessa vez derivando
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
:
Passo 5
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, usamos a regra do produto, já que
tem duas partes que dependem de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando
em relação a
, ou seja,
. Como
e
são constantes em relação a
, derivamos
:
Resposta
Como
e
, então
. Portanto, as derivadas parciais cruzadas são iguais.