Questão 2 Considere a função .
© Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de no ponto determine a maior possível.

Passo 1

Então, a gente tem uma função . O exercício quer que a gente encontre, no ponto , a maior derivada direcional possível dentre todas as direções possíveis. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado é a taxa de variação da função naquela direção específica. Para encontrar a maior derivada direcional, precisamos encontrar a direção em que essa taxa de variação é máxima.

Passo 3

Para isso, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude é precisamente o valor da maior derivada direcional.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

A magnitude do gradiente é dada por:

Resposta

A maior derivada direcional de no ponto é .

Exercícios relacionados

Questão 2 Considere a função .
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Questão 1 Considere a função .
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de é uma reta? Justifique sua resposta!
Questão 1 Considere a função .
(a) Esboce o domínio de .
Questão 1 Considere a função .
© Calcule as derivadas parciais de .