Questão 2 Considere a função f(x, y) = cos(x^2 + y^2).
© Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de f no ponto (0, raiz(pi / 2)) determine a maior possível.

Passo 1

Então, a gente tem uma função . O exercício quer que a gente encontre, no ponto , a maior derivada direcional possível dentre todas as direções possíveis. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto dado é a taxa de variação da função naquela direção específica. Para encontrar a maior derivada direcional, precisamos encontrar a direção em que essa taxa de variação é máxima.

Passo 3

Para isso, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude é precisamente o valor da maior derivada direcional.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

A magnitude do gradiente é dada por:

Resposta

A maior derivada direcional de no ponto é .

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