Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
dy/dx = (2x - 4) / (3y² + 18y + 15) ; y(2 - raiz(3)) = 0
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (2 - 2 * raiz(7), 2 + 2 * raiz(7)).
  • -\infty, +\infty
    b (-infinito, 2-raiz(3)].
    e (2 - 2 * raiz(7), +infinito).
    c [2 - raiz(3), +infinito).
    f (-infinito, 2 + 2 * raiz(7)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e encontrar o intervalo onde a solução é válida. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fatorar o polinômio :
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. Começando pelo lado esquerdo:
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:
Do lado direito, temos:

Passo 5

Igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma nova constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Substituímos e na equação:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 7

Então, a solução geral da equação diferencial com a condição inicial é:

Passo 8

Para encontrar o intervalo de validade, observamos onde a solução está definida. Olhando para a equação diferencial original:
O denominador não pode ser zero, então e . Considerando a condição inicial , buscamos o intervalo onde permanece entre esses valores proibidos.
Após analisar, concluímos que a solução é válida para todos os valores de maiores ou iguais a .

Resposta

c [2 - raiz(3), +infinito).

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