Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a
.
-
b
.
e
.
c
.
f
.
a
b
e
c
f
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e encontrar o intervalo onde a solução é válida. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Podemos fatorar o polinômio
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. Começando pelo lado esquerdo:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Do lado direito, temos:
Passo 5
Igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituímos
e
na equação:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 7
Então, a solução geral da equação diferencial com a condição inicial é:
Passo 8
Para encontrar o intervalo de validade, observamos onde a solução está definida. Olhando para a equação diferencial original:
O denominador não pode ser zero, então
e
. Considerando a condição inicial
, buscamos o intervalo onde
permanece entre esses valores proibidos.
Após analisar, concluímos que a solução é válida para todos os valores de
maiores ou iguais a
.
Resposta
c
.
Exercícios relacionados
Seja
e
uma superfície de nível de
. Prove que se (
) é um ponto de
, então, o vetor
é perpendicular a
, isto é, é perpendicular ao plano tangente a
nesse ponto.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19. em torno de
19.
Suponha que
e que
seja diferenciável em
com
. Uma equação do plano tangente à superficie de nível
2 no ponto
é
; as equações paramétricas da reta normal à superfície
,
,