Seja e uma superfície de nível de . Prove que se ( ) é um ponto de , então, o vetor é perpendicular a , isto é, é perpendicular ao plano tangente a nesse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função e uma superfície que é uma superfície de nível dessa função. A gente precisa provar que, num ponto específico que está em , o vetor gradiente é perpendicular a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície de nível, o que é o vetor gradiente e como eles se relacionam com a tangente à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função , uma superfície de nível é o conjunto de pontos onde é constante, ou seja, , onde é uma constante. Isso significa que todos os pontos em têm o mesmo valor de .

Passo 3

Agora, o que é o vetor gradiente ? É um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Ele nos dá informações sobre como a função muda em cada direção do espaço.

Passo 4

Vamos falar sobre o plano tangente à superfície no ponto . O plano tangente é o “melhor” plano que aproxima a superfície naquele ponto. Os vetores que estão nesse plano são chamados de vetores tangentes à superfície. Para provar que é perpendicular a , precisamos mostrar que ele é perpendicular a todos os vetores tangentes ao plano tangente.

Passo 5

A propriedade chave aqui é que o gradiente é sempre perpendicular à superfície de nível de . Isso acontece porque, se você mover na direção de um vetor tangente à superfície, o valor de não muda (já que está na mesma superfície de nível). Portanto, o produto interno entre e qualquer vetor tangente deve ser zero:
Isso significa que é perpendicular a qualquer vetor tangente, logo, ele é perpendicular ao plano tangente à superfície no ponto .

Resposta

Assim, provamos que o vetor gradiente é perpendicular à superfície de nível no ponto , ou seja, ele é perpendicular ao plano tangente a nesse ponto.

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a .

  • b .
    e .
    c .
    f .
funções. Prove que: