Seja
e
uma superfície de nível de
. Prove que se (
) é um ponto de
, então, o vetor
é perpendicular a
, isto é, é perpendicular ao plano tangente a
nesse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
e uma superfície
que é uma superfície de nível dessa função. A gente precisa provar que, num ponto específico
que está em
, o vetor gradiente
é perpendicular a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície de nível, o que é o vetor gradiente e como eles se relacionam com a tangente à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função
, uma superfície de nível
é o conjunto de pontos
onde
é constante, ou seja,
, onde
é uma constante. Isso significa que todos os pontos em
têm o mesmo valor de
.
Passo 3
Agora, o que é o vetor gradiente
? É um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função
e é dado por:
Ele nos dá informações sobre como a função
muda em cada direção do espaço.
Passo 4
Vamos falar sobre o plano tangente à superfície
no ponto
. O plano tangente é o “melhor” plano que aproxima a superfície naquele ponto. Os vetores que estão nesse plano são chamados de vetores tangentes à superfície. Para provar que
é perpendicular a
, precisamos mostrar que ele é perpendicular a todos os vetores tangentes ao plano tangente.
Passo 5
A propriedade chave aqui é que o gradiente
é sempre perpendicular à superfície de nível de
. Isso acontece porque, se você mover na direção de um vetor tangente à superfície, o valor de
não muda (já que está na mesma superfície de nível). Portanto, o produto interno entre
e qualquer vetor tangente deve ser zero:
Isso significa que
é perpendicular a qualquer vetor tangente, logo, ele é perpendicular ao plano tangente à superfície
no ponto
.
Resposta
Assim, provamos que o vetor gradiente
é perpendicular à superfície de nível
no ponto
, ou seja, ele é perpendicular ao plano tangente a
nesse ponto.
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19. em torno de
19.
Sejam
e
dadas por
e
,
, . Calcule
.
Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a .
a
-
b.
e.
c.
f.