Seja f: R^3 -> R e S uma superfície de nível de f. Prove que se ( x0, y0, z0 ) é um ponto de S, então, o vetor nabla f(x0, y0, z0) é perpendicular a S, isto é, é perpendicular ao plano tangente a S nesse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função f: R^3 -> R e uma superfície S que é uma superfície de nível dessa função. A gente precisa provar que, num ponto específico que está em S, o vetor gradiente é perpendicular a S. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície de nível, o que é o vetor gradiente e como eles se relacionam com a tangente à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função f: R^3 -> R, uma superfície de nível S é o conjunto de pontos (x, y, z) onde f(x, y, z) é constante, ou seja, , onde c é uma constante. Isso significa que todos os pontos em S têm o mesmo valor de f.

Passo 3

Agora, o que é o vetor gradiente nabla f? É um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função f e é dado por:
Ele nos dá informações sobre como a função f muda em cada direção do espaço.

Passo 4

Vamos falar sobre o plano tangente à superfície S no ponto . O plano tangente é o “melhor” plano que aproxima a superfície naquele ponto. Os vetores que estão nesse plano são chamados de vetores tangentes à superfície. Para provar que é perpendicular a S, precisamos mostrar que ele é perpendicular a todos os vetores tangentes ao plano tangente.

Passo 5

A propriedade chave aqui é que o gradiente nabla f é sempre perpendicular à superfície de nível de f. Isso acontece porque, se você mover na direção de um vetor tangente à superfície, o valor de f não muda (já que está na mesma superfície de nível). Portanto, o produto interno entre nabla f e qualquer vetor tangente deve ser zero:
Isso significa que nabla f é perpendicular a qualquer vetor tangente, logo, ele é perpendicular ao plano tangente à superfície S no ponto .

Resposta

Assim, provamos que o vetor gradiente é perpendicular à superfície de nível S no ponto , ou seja, ele é perpendicular ao plano tangente a S nesse ponto.

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