Questão 7 Um operador linear
satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
-
-
;
-
é autovalor de
.
Determine o polinômio caracteristico e o minimo do operador
e diga se
é diagonalizável. Justifique.
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Determine o polinômio caracteristico e o minimo do operador
1
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
com algumas condições específicas:
- O núcleo de
é definido por e . -
. -
é um autovalor de .
Queremos determinar:
- O polinômio característico de
. - O polinômio mínimo de
. - Se
é diagonalizável, justificando a resposta.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo de um operador, autovalores, polinômio característico, polinômio mínimo e diagonalização de operadores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o núcleo de
, que é o conjunto de vetores
que satisfazem
e
.
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar uma base para o núcleo.
A segunda equação é
, ou seja,
. Substituindo na primeira equação:
Então, podemos expressar os vetores do núcleo como:
Portanto, uma base para o núcleo é
, e a dimensão do núcleo (nulidade de
) é 2.
Passo 3
Sabemos que a dimensão do espaço vetorial é 4 e a nulidade de
é 2. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos:
Então, a imagem de
é um subespaço de dimensão 2 em
.
Passo 4
Vamos agora usar a informação de que
.
Isso nos dá um vetor na imagem de
. Além disso, sabemos que
é um autovalor de
, o que significa que existe um vetor não nulo
talente que
.
Isso nos ajuda a construir o polinômio característico, já que sabemos que
é uma raiz desse polinômio.
Passo 5
O polinômio característico de um operador linear
é dado por:
Sabemos algumas coisas sobre os autovalores de
:
- O núcleo de
tem dimensão 2, o que significa que 0 é um autovalor com multiplicidade geométrica 2. -
é um autovalor.
Como o operador atua em
, o polinômio característico será de grau 4. Já temos dois autovalores: 0 (com multiplicidade pelo menos 2) e -3.
Vamos supor que 0 tem multiplicidade algébrica 2 e -3 tem multiplicidade algélica 2 para completar o grau 4.
Então, o polinômio característico seria:
Passo 6
Agora, vamos determinar o polinômio mínimo de
. O polinômio mínimo é o polinômio monico de menor grau que satisfaz
.
Como 0 e -3 são autovalores, o polinômio mínimo deve ter fatores
e
.
Precisamos verificar as maiores potências desses fatores necessárias para anular
. Geralmente, a multiplicidade geométrica nos dá uma ideia das potências nos termos do polinômio mínimo.
Como a multiplicidade geométrica de 0 é 2, o termo
está presente no polinômio mínimo. Já para
, assumimos multiplicidade 2 também.
Portanto, o polinômio mínimo é:
Passo 7
Finalmente, vamos verificar se
é diagonalizável.
Um operador é diagonalizável se o polinômio mínimo se fatora em fatores lineares distintos e a multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade geométrica.
No nosso caso, o polinômio mínimo é
, que tem apenas fatores lineares distintos. Além disso, a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide com a multiplicidade algébrica.
Portanto,
é diagonalizável.
Resposta
O polinômio característico de
é
, o polinômio mínimo é
, e o operador
é diagonalizável.