Questão 7 Um operador linear T: R^4 R^4 satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
  • Ker(T)=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y-z+t=0 e z-t=0
  • T(0,0,1,0)=(0,0,2,0);
  • lambda=-3 é autovalor de T.
    Determine o polinômio caracteristico e o minimo do operador T e diga se T é diagonalizável. Justifique.
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Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um operador linear com algumas condições específicas:
  1. O núcleo de é definido por e .
  2. .
  3. é um autovalor de .
Queremos determinar:
  • O polinômio característico de .
  • O polinômio mínimo de .
  • Se é diagonalizável, justificando a resposta.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo de um operador, autovalores, polinômio característico, polinômio mínimo e diagonalização de operadores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o núcleo de , que é o conjunto de vetores que satisfazem e .
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar uma base para o núcleo.
A segunda equação é , ou seja, . Substituindo na primeira equação:
.
Então, podemos expressar os vetores do núcleo como:
.
Portanto, uma base para o núcleo é , e a dimensão do núcleo (nulidade de ) é 2.

Passo 3

Sabemos que a dimensão do espaço vetorial é 4 e a nulidade de é 2. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos:
.
Então, a imagem de é um subespaço de dimensão 2 em .

Passo 4

Vamos agora usar a informação de que .
Isso nos dá um vetor na imagem de . Além disso, sabemos que é um autovalor de , o que significa que existe um vetor não nulo talente que .
Isso nos ajuda a construir o polinômio característico, já que sabemos que é uma raiz desse polinômio.

Passo 5

O polinômio característico de um operador linear é dado por:
.
Sabemos algumas coisas sobre os autovalores de :
  • O núcleo de tem dimensão 2, o que significa que 0 é um autovalor com multiplicidade geométrica 2.
  • é um autovalor.
Como o operador atua em , o polinômio característico será de grau 4. Já temos dois autovalores: 0 (com multiplicidade pelo menos 2) e -3.
Vamos supor que 0 tem multiplicidade algébrica 2 e -3 tem multiplicidade algélica 2 para completar o grau 4.
Então, o polinômio característico seria:
.

Passo 6

Agora, vamos determinar o polinômio mínimo de . O polinômio mínimo é o polinômio monico de menor grau que satisfaz .
Como 0 e -3 são autovalores, o polinômio mínimo deve ter fatores e .
Precisamos verificar as maiores potências desses fatores necessárias para anular . Geralmente, a multiplicidade geométrica nos dá uma ideia das potências nos termos do polinômio mínimo.
Como a multiplicidade geométrica de 0 é 2, o termo está presente no polinômio mínimo. Já para , assumimos multiplicidade 2 também.
Portanto, o polinômio mínimo é:
.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar se é diagonalizável.
Um operador é diagonalizável se o polinômio mínimo se fatora em fatores lineares distintos e a multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade geométrica.
No nosso caso, o polinômio mínimo é , que tem apenas fatores lineares distintos. Além disso, a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide com a multiplicidade algébrica.
Portanto, é diagonalizável.

Resposta

O polinômio característico de é , o polinômio mínimo é , e o operador é diagonalizável.

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