Seja
uma curva orientada no sentido anti-horário que é a fronteira da regiāo
. Prove que a área de
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva, representada por
, que está orientada no sentido anti-horário e delimita a região
. O objetivo aqui é provar que a área dessa região
pode ser calculada pela integral
Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é usada para somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, estamos integrando sobre a fronteira
da região
. A expressão dentro da integral,
, envolve as derivadas das funções que definem a curva.
Passo 3
Agora, vamos pensar na fórmula da área usando coordenadas paramétricas. Para uma curva parametrizada por
, a área pode ser calculada pela integral dupla sobre
. Mas para simplificar, usamos uma fórmula que relaciona essa área com uma integral de linha sobre a fronteira.
Passo 4
A fórmula que queremos provar é similar à fórmula de Green, que relaciona integrais de linha e integrais duplas. A Fórmula de Green nos diz que:
Vamos ver como podemos escolher
e
para obter a fórmula da área.
Passo 5
Para calcular a área
de
, podemos escolher
e
. Com essa escolha, temos:
Assim, pela Fórmula de Green:
Passo 6
Agora, vamos expressar isso em termos de
. Sabemos que
e
, já que
e
são funções de
. Substituindo na integral, temos:
Resposta
Portanto, a área de
é dada por
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da seguinte função:
Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente
. Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.
Sejam
funçōes duas vezes continuamente diferenciáveis que são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Prove que, na bola unitária
, tem-se
Seja
. Prove ou refute que existe um campo vetorial
, com as seguintes propriedades:
-
tem derivadas parciais contínuas para todo ; -
, para todo ; -
.