Seja uma curva orientada no sentido anti-horário que é a fronteira da regiāo . Prove que a área de é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva, representada por , que está orientada no sentido anti-horário e delimita a região . O objetivo aqui é provar que a área dessa região pode ser calculada pela integral
Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é usada para somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, estamos integrando sobre a fronteira da região . A expressão dentro da integral, , envolve as derivadas das funções que definem a curva.

Passo 3

Agora, vamos pensar na fórmula da área usando coordenadas paramétricas. Para uma curva parametrizada por , a área pode ser calculada pela integral dupla sobre . Mas para simplificar, usamos uma fórmula que relaciona essa área com uma integral de linha sobre a fronteira.

Passo 4

A fórmula que queremos provar é similar à fórmula de Green, que relaciona integrais de linha e integrais duplas. A Fórmula de Green nos diz que:
Vamos ver como podemos escolher e para obter a fórmula da área.

Passo 5

Para calcular a área de , podemos escolher e . Com essa escolha, temos:
Assim, pela Fórmula de Green:

Passo 6

Agora, vamos expressar isso em termos de . Sabemos que e , já que e são funções de . Substituindo na integral, temos:

Resposta

Portanto, a área de é dada por

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Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente . Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.
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  • , para todo ;
  • .