Seja gamma(t)=(x(t), y(t)) uma curva orientada no sentido anti-horário que é a fronteira da regiāo D. Prove que a área de D é dada por
A=12 ointpartial D(x y^prime-y x^prime) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva, representada por gamma(t) = (x(t), y(t)), que está orientada no sentido anti-horário e delimita a região D. O objetivo aqui é provar que a área dessa região D pode ser calculada pela integral
A = 12 ointpartial D ( x y' - y x' ) dt
Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é usada para somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, estamos integrando sobre a fronteira partial D da região D. A expressão dentro da integral, x y' - y x', envolve as derivadas das funções que definem a curva.

Passo 3

Agora, vamos pensar na fórmula da área usando coordenadas paramétricas. Para uma curva parametrizada por t, a área pode ser calculada pela integral dupla sobre D. Mas para simplificar, usamos uma fórmula que relaciona essa área com uma integral de linha sobre a fronteira.

Passo 4

A fórmula que queremos provar é similar à fórmula de Green, que relaciona integrais de linha e integrais duplas. A Fórmula de Green nos diz que:
ointpartial D (L dx + M dy) = integral duplaD ( partial Mpartial x - partial Lpartial y ) dx dy
Vamos ver como podemos escolher L e M para obter a fórmula da área.

Passo 5

Para calcular a área A de D, podemos escolher L = -y2 e M = x2. Com essa escolha, temos:
partial Mpartial x - partial Lpartial y = 12 - (-12) = 1
Assim, pela Fórmula de Green:
integral duplaD 1 , dx dy = A = ointpartial D ( -y2 dx + x2 dy )

Passo 6

Agora, vamos expressar isso em termos de t. Sabemos que dx = x' dt e dy = y' dt, já que x e y são funções de t. Substituindo na integral, temos:
A = ointpartial D ( -y2 x' + x2 y' ) dt = 12 ointpartial D ( x y' - y x' ) dt

Resposta

Portanto, a área de D é dada por
A = 12 ointpartial D ( x y' - y x' ) dt

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