Sejam A(2,1,4), B(m, 4,5) e C(0,4,1) vértices de um triângulo.
Determinar o ponto H , pé da altura relativa ao vértice A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar o ponto , que é o pé da altura relativa ao vértice . Isso significa que queremos achar o ponto na base onde a altura cai perpendicularmente de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e projeções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que definem a base BC = B - C = (m - 0, , 4 - 4, , 5 - 1) = (m, , 0, , 4) . Para isso, calculamos o vetor subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor representa a direção da base .

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor BA = A - B = (2 - m, , 1 - 4, , 4 - 5) = (2 - m, , -3, , -1) , que vai de até :
Esse vetor será útil para encontrar a projeção de sobre , que nos dará a altura.

Passo 4

A projeção de ProjBC BA = ( BA cdot BCBC cdot BC ) BC sobre BA cdot BC = (2 - m) cdot m + (-3) cdot 0 + (-1) cdot 4 = 2m - m^2 + 0 - 4 = -m^2 + 2m - 4 é dada pela fórmula:
BC cdot BC = m^2 + 0^2 + 4^2 = m^2 + 0 + 16 = m^2 + 16
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Em seguida, o produto escalar :

Passo 5

Substituindo na fórmula da projeção:
ProjBC BA = ( -m^2 + 2m - 4m^2 + 16 ) cdot (m, , 0, , 4)
Distribuindo o escalar:
ProjBC BA = ( -m^2 + 2m - 4m^2 + 16 cdot m, , 0, , -m^2 + 2m - 4m^2 + 16 cdot 4 )
Simplificando cada componente:
ProjBC BA = ( -m^3 + 2m^2 - 4mm^2 + 16, , 0, , -4m^2 + 8m - 16m^2 + 16 )

Passo 6

O ponto H = B + ProjBC BA = ( m + -m^3 + 2m^2 - 4mm^2 + 16, , 4 + 0, , 5 + -4m^2 + 8m - 16m^2 + 16 ) é obtido somando a projeção H = ( m(m^2 + 16) - m^3 + 2m^2 - 4mm^2 + 16, , 4, , 5(m^2 + 16) - 4m^2 + 8m - 16m^2 + 16 ) às coordenadas de H = ( m^3 + 16m - m^3 + 2m^2 - 4mm^2 + 16, , 4, , 5m^2 + 80 - 4m^2 + 8m - 16m^2 + 16 ) :
H = ( 2m^2 + 12mm^2 + 16, , 4, , m^2 + 8m + 64m^2 + 16 )
Simplificando as coordenadas:

Resposta

O ponto H ( 2m^2 + 12mm^2 + 16, , 4, , m^2 + 8m + 64m^2 + 16 ) é dado por:

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