Sejam e vértices de um triângulo.
Determinar o ponto H , pé da altura relativa ao vértice A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A tarefa é encontrar o ponto , que é o pé da altura relativa ao vértice . Isso significa que queremos achar o ponto na base onde a altura cai perpendicularmente de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e projeções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que definem a base . Para isso, calculamos o vetor subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor representa a direção da base .

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor , que vai de até :
Esse vetor será útil para encontrar a projeção de sobre , que nos dará a altura.

Passo 4

A projeção de sobre é dada pela fórmula:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Em seguida, o produto escalar :

Passo 5

Substituindo na fórmula da projeção:
Distribuindo o escalar:
Simplificando cada componente:

Passo 6

O ponto é obtido somando a projeção às coordenadas de :
Simplificando as coordenadas:

Resposta

O ponto é dado por:

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b) Determine as equações simétricas e reduzidas em da reta que passa pelos pontos e D .
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