Questão 2: Drovar que toda funçāo polinamial é contínua em qualquer ponto do seu domínio.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos provar que toda função polinomial é contínua em qualquer ponto do seu domínio. Isso envolve entender o que é uma função polinomial, o que significa continuidade e como essas duas coisas se relacionam. Para resolver isso, vamos lembrar das definições de função polinomial e de continuidade e usar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função polinomial. Uma função polinomial é uma expressão do tipo:
onde
são coeficientes reais e
é um número inteiro não negativo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que a função
é contínua no ponto
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 4
Vamos verificar essas três condições para a função polinomial
em qualquer ponto
do seu domínio.
1.
está definida:
Como é uma soma de potências de
multiplicadas por coeficientes, substituindo
por
sempre dará um valor específico. Portanto,
está definida.
Como
2. O limite de
quando
se aproxima de
existe:
Funções polinomiais são compostas por funções básicas (como potências de ), que são contínuas em todo seu domínio. A soma de funções contínuas também é contínua, o que garante que o limite existe.
Funções polinomiais são compostas por funções básicas (como potências de
3. O limite de
quando
se aproxima de
é igual a
:
Como cada termo de
é contínuo em
, o limite de
quando
se aproxima de
será exatamente
.
Como cada termo
Passo 5
Como todas as três condições para continuidade são satisfeitas para qualquer ponto
, concluímos que toda função polinomial é contínua em qualquer ponto do seu domínio.
Resposta
Toda função polinomial
é contínua em qualquer ponto
do seu domínio porque satisfaz as três condições de continuidade:
está definida, o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a
. Portanto, todas as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).
Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).
celepar
Questăo (3).
Provar que
náo é polimonial.
Questăo (3).
Provar que
Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.