Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Equação de Euler. O enunciado é:
, onde .
Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais de Euler, que são equações lineares com coeficientes que são potências de . Vamos encontrar as soluções fundamentais e, depois, a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por (como , isso é permitido):

Passo 3

Nas equações de Euler, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial de coeficientes constantes. Vamos assumir que a solução é da forma .
Derivando :

Passo 4

Substituindo , e na equação simplificada:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatorando dos primeiros dois termos:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

Passo 6

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais a zero:
A segunda equação não faz sentido, o que indica que devemos ajustar nossa abordagem. Parece que a equação diferencial não homogênea está presente, então precisamos encontrar uma solução particular.

Passo 7

Vamos considerar a solução geral da equação homogênea associada:
Dividindo por :
Essa é uma equação diferencial de Euler homogênea. Assumimos , seguindo os mesmos passos anteriores:
Substituindo:
Para que isso seja válido para todo :

Passo 8

Então, as soluções fundamentais da equação homogênea são:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar a solução particular da equação completa . Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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b.
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b.
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