Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Equação de Euler. O enunciado é:
Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais de Euler, que são equações lineares com coeficientes que são potências de
. Vamos encontrar as soluções fundamentais e, depois, a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(como
, isso é permitido):
Passo 3
Nas equações de Euler, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial de coeficientes constantes. Vamos assumir que a solução é da forma
.
Derivando
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação simplificada:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando
dos primeiros dois termos:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Passo 6
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais a zero:
A segunda equação
não faz sentido, o que indica que devemos ajustar nossa abordagem. Parece que a equação diferencial não homogênea está presente, então precisamos encontrar uma solução particular.
Passo 7
Vamos considerar a solução geral da equação homogênea associada:
Dividindo por
:
Essa é uma equação diferencial de Euler homogênea. Assumimos
, seguindo os mesmos passos anteriores:
Substituindo:
Para que isso seja válido para todo
:
Passo 8
Então, as soluções fundamentais da equação homogênea são:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar a solução particular da equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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b.
b.
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é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução
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b.
b.
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d.
d.
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