Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d.
d.
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Basicamente, queremos encontrar uma solução particular para essa equação e depois a solução geral combinando com a solução da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo
. Assume-se uma forma para
compatível com o lado direito:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Substituindo
na segunda equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Então, a solução particular para
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo
. Assume-se uma forma para
que inclua senos e cossenos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 5
Agora, juntamos as duas soluções particulares encontradas:
Passo 6
Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
c.
c.
Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
b.
Ache três número positivos cujo produto é 24 e sua soma seja a menor possível.
Resolva, em
, as seguintes equações: