Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d.

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Basicamente, queremos encontrar uma solução particular para essa equação e depois a solução geral combinando com a solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo . Assume-se uma forma para compatível com o lado direito:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo . Assume-se uma forma para que inclua senos e cossenos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, a solução particular para é:

Passo 5

Agora, juntamos as duas soluções particulares encontradas:

Passo 6

Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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c.
Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
Ache três número positivos cujo produto é 24 e sua soma seja a menor possível.
Resolva, em , as seguintes equações: