QUESTÃO 1: Para o filtro passa-faixa baseado em circuito RLC, com o capacitor associado em paralelo ao indutor e o resistor em série a esta associação LC, deduza as expressōes para:
b) Frequências de corte
( 1,5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um filtro passa-faixa feito com um circuito RLC. Nesse circuito, o capacitor está ligado em paralelo com o indutor, e o resistor está em série com essa combinação LC. Nosso objetivo aqui é deduzir as expressões para as frequências de corte desse filtro. Para isso, vamos precisar entender como reagentes como capacitores e indutores se comportam em circuitos de corrente alternada e como eles influenciam as frequências que passam pelo filtro.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o circuito. Temos um resistor em série com uma combinação de indutor e capacitor em paralelo. A gente precisa encontrar a impedância total desse circuito para depois determinar em quais frequências a passagem de sinal começa a cair, ou seja, as frequências de corte.
Passo 3
A impedância de um indutor é dada por e a de um capacitor é , onde é a frequência angular e é a unidade imaginária. Como o indutor e o capacitor estão em paralelo, a impedância combinada pode ser calculada usando a fórmula de impedâncias em paralelo:
Passo 4
Simplificando essa expressão, temos:
Invertemos para encontrar :
Passo 5
Agora, a impedância total do circuito é a soma do resistor com a impedância :
Passo 6
Para encontrar as frequências de corte, precisamos determinar em quais frequências a impedância reativa do LC cancela a impedância do resistor de tal forma que a resposta do filtro diminui. Isso ocorre quando o denominador , ou seja:
Passo 7
Resolvendо para , temos:
Essa é a frequência angular de ressonância, mas para as frequências de corte, consideramos onde a resposta cai para da máxima amplitude, levando em conta o resistor.
Passo 8
As frequências de corte podem ser determinadas pela fórmula:
Onde é a frequência de ressonância.
Resposta
As frequências de corte para o filtro passa-faixa RLC são dadas por: