QUESTÃO 1: Para o filtro passa-faixa baseado em circuito RLC, com o capacitor associado em paralelo ao indutor e o resistor em série a esta associação LC, deduza as expressōes para:
b) Frequências de corte
( 1,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um filtro passa-faixa feito com um circuito RLC. Nesse circuito, o capacitor está ligado em paralelo com o indutor, e o resistor está em série com essa combinação LC. Nosso objetivo aqui é deduzir as expressões para as frequências de corte desse filtro. Para isso, vamos precisar entender como reagentes como capacitores e indutores se comportam em circuitos de corrente alternada e como eles influenciam as frequências que passam pelo filtro.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o circuito. Temos um resistor em série com uma combinação de indutor e capacitor em paralelo. A gente precisa encontrar a impedância total desse circuito para depois determinar em quais frequências a passagem de sinal começa a cair, ou seja, as frequências de corte.

Passo 3

A impedância de um indutor é dada por 1ZLC = 1ZL + 1ZC = 1jomega L + jomega C e a de um capacitor é , onde é a frequência angular e é a unidade imaginária. Como o indutor e o capacitor estão em paralelo, a impedância combinada pode ser calculada usando a fórmula de impedâncias em paralelo:

Passo 4

Simplificando essa expressão, temos:
1ZLC = 1 - (omega L)^2 Cjomega L
Invertemos para encontrar ZLC = jomega L1 - (omega L)^2 C :

Passo 5

Agora, a impedância total do circuito Ztotal = R + ZLC = R + jomega L1 - (omega L)^2 C é a soma do resistor com a impedância :

Passo 6

Para encontrar as frequências de corte, precisamos determinar em quais frequências a impedância reativa do LC cancela a impedância do resistor de tal forma que a resposta do filtro diminui. Isso ocorre quando o denominador 1 - (omega L)^2 C = 0 , ou seja:

Passo 7

Resolvendо para (omega L)^2 C = 1 implies omega^2 = 1LC implies omega = 1raizLC , temos:
Essa é a frequência angular de ressonância, mas para as frequências de corte, consideramos onde a resposta cai para da máxima amplitude, levando em conta o resistor.

Passo 8

As frequências de corte omegac = omega0 raiz1 pm R2L raiz4 - (RL)^2 podem ser determinadas pela fórmula:
Onde é a frequência de ressonância.

Resposta

As frequências de corte para o filtro passa-faixa RLC são dadas por:
omegac = 1raizLC raiz1 pm R2L raiz4 - (RL)^2

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