Questão: O gráfico da velocidade de um corpo, c omo função do tempo é conforme figura abaixo, onde há duas semicircunferências centradas no ei xo temporal. Se a posição do corpo no instante i nicial
é
, determine a posição (a) no i nstante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo, que tem duas semicircunferências centradas no eixo do tempo. Sabemos que no instante inicial
segundos, a posição do corpo é
metros. Nosso objetivo é encontrar a posição do corpo no instante
segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a posição do corpo em um determinado tempo pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo e somando ao valor inicial da posição. A fórmula básica é:
Onde:
-
é a posição no tempo -
é a posição inicial -
é a velocidade em função do tempo -
é uma variável de integração
Passo 3
O gráfico da velocidade é composto por duas semicircunferências. A área sob a curva de velocidade em relação ao tempo representa a variação da posição. Como são semicircunferências, cada uma tem uma área igual à metade da área de um círculo completo. A área de um círculo é
, então a área de uma semicircunferência é
.
Passo 4
Vamos supor que cada semicircunferência tenha um raio
. Precisamos encontrar esse raio para calcular a área. Observando o gráfico, vemos que o tempo total
segundos corresponde ao diâmetro das semicircunferências, então o raio
é:
Passo 5
Agora, calculamos a área de cada semicircunferência:
Como temos duas semicircunferências, a área total será:
Passo 6
Essa área representa a variação total na posição do corpo. Então, a posição no tempo
segundos será:
Resposta
A posição do corpo no instante
segundos é
metros.
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(a) (b)
(a)
(a)
(a)