Questão: O gráfico da velocidade de um corpo, c omo função do tempo é conforme figura abaixo, onde há duas semicircunferências centradas no ei xo temporal. Se a posição do corpo no instante i nicial t=0 é x=2 m, determine a posição (a) no i nstante t=2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo, que tem duas semicircunferências centradas no eixo do tempo. Sabemos que no instante inicial segundos, a posição do corpo é metros. Nosso objetivo é encontrar a posição do corpo no instante segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a posição do corpo em um determinado tempo pode ser encontrada integrando a velocidade em relação ao tempo e somando ao valor inicial da posição. A fórmula básica é:
x(t) = x0 + integral0^t v(tau) , dtau
Onde:
  • é a posição no tempo
  • é a posição inicial
  • é a velocidade em função do tempo
  • é uma variável de integração

Passo 3

O gráfico da velocidade é composto por duas semicircunferências. A área sob a curva de velocidade em relação ao tempo representa a variação da posição. Como são semicircunferências, cada uma tem uma área igual à metade da área de um círculo completo. A área de um círculo é , então a área de uma semicircunferência é .

Passo 4

Vamos supor que cada semicircunferência tenha um raio r = 2 , s2 = 1 , s . Precisamos encontrar esse raio para calcular a área. Observando o gráfico, vemos que o tempo total segundos corresponde ao diâmetro das semicircunferências, então o raio é:

Passo 5

Agora, calculamos a área de cada semicircunferência:
Área de uma semicircunferência = 12 pi r^2 = 12 pi (1)^2 = pi2 , m Áê
Como temos duas semicircunferências, a área total será:
Área total = 2 times pi2 = pi , m Á

Passo 6

Essa área representa a variação total na posição do corpo. Então, a posição no tempo x(2) = x0 + Área total = 2 , m + pi , m = 2 + pi , m segundos será:
Á

Resposta

A posição do corpo no instante segundos é metros.

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