Questão: O gráfico da velocidade de um corpo, c omo função do tempo é conforme figura abaixo, onde há duas semicircunferências centradas no ei xo temporal. Se a posição do corpo no instante i nicial t=0 é x=2 m, determine a posição no istante t=10 s.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício onde o gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo é composto por duas semicircunferências centradas no eixo do tempo. Sabemos que a posição inicial do corpo no instante é metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a posição do corpo no instante segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição de um corpo em movimento pode ser encontrada integrando a função velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
x(t) = x0 + integral0^t v(tau) , dtau
Aqui, é a posição inicial, é a função velocidade, e é uma variável de integração que representa o tempo.

Passo 3

No nosso caso, o gráfico da velocidade é composto por duas semicircunferências. Cada semicircunferência representa uma parte do movimento do corpo. Vamos analisar a área sob cada semicircunferência, pois essa área corresponde à variação da posição durante aquele intervalo de tempo.

Passo 4

A área de uma semicircunferência é dada por:
Área = 12 pi r^2 Á
onde é o raio da semicircunferência. Porém, no nosso caso, como não temos o raio específico, podemos considerar que cada semicircunferência contribui com uma variação de posição que se cancela devido à simetria do gráfico.

Passo 5

Como temos duas semicircunferências, uma positiva e outra negativa (supondo que uma está acima e outra abaixo do eixo do tempo), a área total resultante da integração das duas será zero. Isso significa que a variação de posição total após os 10 segundos é nula.

Passo 6

Agora, aplicando isso na fórmula da posição:
x(10 , s) = x0 + 0 = 2 , m
Ou seja, a posição final do corpo no instante segundos permanece a mesma que a posição inicial.

Resposta

A posição do corpo no instante segundos é metros.

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