Questão: O gráfico da velocidade de um corpo, c omo função do tempo é conforme figura abaixo, onde há duas semicircunferências centradas no ei xo temporal. Se a posição do corpo no instante i nicial
é
, determine a posição no istante
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício onde o gráfico da velocidade de um corpo em função do tempo é composto por duas semicircunferências centradas no eixo do tempo. Sabemos que a posição inicial do corpo no instante
é
metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a posição do corpo no instante
segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição de um corpo em movimento pode ser encontrada integrando a função velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Aqui,
é a posição inicial,
é a função velocidade, e
é uma variável de integração que representa o tempo.
Passo 3
No nosso caso, o gráfico da velocidade
é composto por duas semicircunferências. Cada semicircunferência representa uma parte do movimento do corpo. Vamos analisar a área sob cada semicircunferência, pois essa área corresponde à variação da posição durante aquele intervalo de tempo.
Passo 4
A área de uma semicircunferência é dada por:
onde
é o raio da semicircunferência. Porém, no nosso caso, como não temos o raio específico, podemos considerar que cada semicircunferência contribui com uma variação de posição que se cancela devido à simetria do gráfico.
Passo 5
Como temos duas semicircunferências, uma positiva e outra negativa (supondo que uma está acima e outra abaixo do eixo do tempo), a área total resultante da integração das duas será zero. Isso significa que a variação de posição total após os 10 segundos é nula.
Passo 6
Agora, aplicando isso na fórmula da posição:
Ou seja, a posição final do corpo no instante
segundos permanece a mesma que a posição inicial.
Resposta
A posição do corpo no instante
segundos é
metros.
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