Questão 4. Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa
e raio
(Figura 4). Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata, à medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade
do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância
. (b) Ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio. Considere o momento de inércia do cilindro igual a
.
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ioiô primitivo feito enrolando um fio em torno de um cilindro com massa
e raio
. Quando você solta o fio, o cilindro começa a cair e a girar ao mesmo tempo. Vamos precisar usar conceitos de energia e dinâmica rotacional para resolver as duas partes do exercício: encontrar a velocidade do cilindro após cair uma altura
e depois achar a aceleração e a tensão no fio.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a velocidade
do centro de massa após cair uma altura
.
Vamos usar o Princípio da Conservação da Energia, que diz que a energia total antes de soltar o ioiô é igual à energia total depois de cair.
Inicialmente, o ioiô está parado, então sua energia cinética é zero, e a energia potencial gravitacional é
.
Quando o ioiô cai, essa energia potencial se transforma em energia cinética de transllação (movimento linear) e energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
Onde:
-
é a velocidade do centro de massa. -
é o momento de inércia do cilindro, dado por . -
é a velocidade angular.
Como o fio não desliza nem se estica, a relação entre
e
é
. Então, podemos substituir
por
na equação da energia cinética:
Pela conservação da energia:
Cancelando
e resolvendo para
:
Passo 3
Parte (b): Encontrar a aceleração
do cilindro e a tensão
no fio.
Vamos usar a Segunda Lei de Newton para a translação e para a rotação.
- Para a translação:
A força resultante é a diferença entre a força gravitacional e a tensão no fio:
- Para a rotação:
O torque
causado pela tensão no fio é:
Onde
é a aceleração angular. Como
(por não haver deslizamento):
Substituindo
:
Agora, voltamos à equação da translação:
Somando
em ambos os lados:
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a tensão:
Resposta
(a) A velocidade do centro de massa depois de cair a altura
é
.
(b) A aceleração do cilindro é
e a tensão no fio é
.