Questão 4. Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa e raio (Figura 4). Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata, à medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância . (b) Ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio. Considere o momento de inércia do cilindro igual a .
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ioiô primitivo feito enrolando um fio em torno de um cilindro com massa e raio . Quando você solta o fio, o cilindro começa a cair e a girar ao mesmo tempo. Vamos precisar usar conceitos de energia e dinâmica rotacional para resolver as duas partes do exercício: encontrar a velocidade do cilindro após cair uma altura e depois achar a aceleração e a tensão no fio.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade do centro de massa após cair uma altura .
Vamos usar o Princípio da Conservação da Energia, que diz que a energia total antes de soltar o ioiô é igual à energia total depois de cair.
Inicialmente, o ioiô está parado, então sua energia cinética é zero, e a energia potencial gravitacional é .
Quando o ioiô cai, essa energia potencial se transforma em energia cinética de transllação (movimento linear) e energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
Onde:
  • é a velocidade do centro de massa.
  • é o momento de inércia do cilindro, dado por .
  • é a velocidade angular.
Como o fio não desliza nem se estica, a relação entre e é . Então, podemos substituir por na equação da energia cinética:
Pela conservação da energia:
Cancelando e resolvendo para :

Passo 3

Parte (b): Encontrar a aceleração do cilindro e a tensão no fio.
Vamos usar a Segunda Lei de Newton para a translação e para a rotação.
  1. Para a translação:
A força resultante é a diferença entre a força gravitacional e a tensão no fio:
  1. Para a rotação:
O torque causado pela tensão no fio é:
Onde é a aceleração angular. Como (por não haver deslizamento):
Substituindo :
Agora, voltamos à equação da translação:
Somando em ambos os lados:
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a tensão:

Resposta

(a) A velocidade do centro de massa depois de cair a altura é .
(b) A aceleração do cilindro é e a tensão no fio é .

Exercícios relacionados

Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para , z, em termos das três coordenadas cartesianas e . Explique o que é . Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam em vez de . Explique por que este uso de não é apropriado.
Questão 3. Certa peça de uma máquina (Figura 3) consiste em tręs discos ligados por suportes leves. (a) Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 1 que passa pelo centro do disco A, perpendicular ao plano do desenho? (b) Qual é o momento de inéreia em torno de um eixo 2 que passa pelos centros dos discos B e C? © Qual é a energia cinética do corpo se ele gira em torno do eixo 1 com velocidade angular ? Use:
a)
Figura 3. Peça de uma máquina de forma estranha.
Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a para determinar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula.
Questão 2. Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a . (Figura 2). A velocidade do avião deve ser de , e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar . (Isso é cerca de da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruido muito alto.) (a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? (b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use: . .
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.