Questão 4. Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa M e raio R (Figura 4). Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata, à medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade vc m do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância h. (b) Ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio. Considere o momento de inércia do cilindro igual a Ic m=M R^2 / 2.
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ioiô primitivo feito enrolando um fio em torno de um cilindro com massa e raio . Quando você solta o fio, o cilindro começa a cair e a girar ao mesmo tempo. Vamos precisar usar conceitos de energia e dinâmica rotacional para resolver as duas partes do exercício: encontrar a velocidade do cilindro após cair uma altura e depois achar a aceleração e a tensão no fio.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade Ek = 12 M vcm^2 + 12 I omega^2 do centro de massa após cair uma altura Ek = 12 M vcm^2 + 12 ( 12 M R^2 ) ( vcmR )^2 = 12 M vcm^2 + 14 M vcm^2 = 34 M vcm^2 .
Vamos usar o Princípio da Conservação da Energia, que diz que a energia total antes de soltar o ioiô é igual à energia total depois de cair.
Inicialmente, o ioiô está parado, então sua energia cinética é zero, e a energia potencial gravitacional é M g h = 34 M vcm^2 .
Quando o ioiô cai, essa energia potencial se transforma em energia cinética de transllação (movimento linear) e energia cinética de rotação. A energia cinética total é:
vcm = raiz 4 g h3
Onde:
  • é a velocidade do centro de massa.
  • é o momento de inércia do cilindro, dado por .
  • é a velocidade angular.
Como o fio não desliza nem se estica, a relação entre e é . Então, podemos substituir por na equação da energia cinética:
Pela conservação da energia:
Cancelando e resolvendo para :

Passo 3

Parte (b): Encontrar a aceleração M g - T = M a do cilindro e a tensão tau = T R = I alpha no fio.
Vamos usar a Segunda Lei de Newton para a translação e para a rotação.
  1. Para a translação:
A força resultante é a diferença entre a força gravitacional e a tensão no fio:
T R = I aR Rightarrow T = I aR^2
  1. Para a rotação:
O torque T = 12 M R^2 a R^2 = 12 M a causado pela tensão no fio é:
M g - 12 M a = M a
Onde M g = 32 M a Rightarrow a = 23 g é a aceleração angular. Como T = 12 M a = 12 M ( 23 g ) = 13 M g (por não haver deslizamento):
Substituindo :
Agora, voltamos à equação da translação:
Somando em ambos os lados:
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a tensão:

Resposta

(a) A velocidade do centro de massa depois de cair a altura é .
(b) A aceleração do cilindro é e a tensão no fio é .

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