Questão 2. Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a 2400 rot / min. (Figura 2). A velocidade do avião deve ser de 75 m / s, e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m / s. (Isso é cerca de 80 % da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruido muito alto.) (a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? (b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use: (1 rot / min. )(2 pi rad / 1 rot)(1 min / 60 s).
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a hélice de um avião! O enunciado fala que a hélice gira a 2400 rotações por minuto, o avião deve ir a 75 metros por segundo e a ponta da hélice não pode ultrapassar 270 metros por segundo. A gente vai precisar usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta, para descobrir o raio máximo que a hélice pode ter e a aceleração na ponta dessa hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter as rotações por minuto (rot/min) para radianos por segundo (rad/s), porque é mais fácil trabalhar com radianos quando lidamos com movimento circular.
A fórmula que vamos usar é:
omega = rot/min times 2pi , rad1 , rot times 1 , min60 , s
Onde é a velocidade angular em rad/s.

Passo 3

Vamos calcular omega = 2400 times 2pi1 times 160 = 2400 times 2pi60 = 2400 times pi30 = 80pi , rad/s usando os valores fornecidos:
Então, .

Passo 4

Sabemos que a velocidade tangencial v = omega times r na ponta da hélice está relacionada ao raio r = vomega e à velocidade angular pela fórmula:
Queremos que , então vamos isolar :

Passo 5

Vamos calcular o raio máximo usando r = 27080pi approx 270251.327 approx 1.075 , m e :
Então, o raio máximo que a hélice pode ter é aproximadamente 1,075 metros.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta ac = omega^2 times r na ponta da hélice. A fórmula para aceleração centrípeta é:
Vamos usar e .

Passo 7

Calculando ac = (80pi)^2 times 1.075 = 6400pi^2 times 1.075 approx 6400 times 9.8696 times 1.075 approx 6400 times 10.612 approx 67916.8 , m/s^2 :
Então, a aceleração na ponta da hélice é aproximadamente 67.916,8 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

(a) O raio máximo que a hélice pode ter é de aproximadamente 1,075 metros.
(b) Com esse raio, a aceleração da extremidade da hélice é de cerca de 67.916,8 m/s².

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