Questão 2. Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a
. (Figura 2). A velocidade do avião deve ser de
, e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar
. (Isso é cerca de
da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruido muito alto.) (a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? (b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use:
.
.
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a hélice de um avião! O enunciado fala que a hélice gira a 2400 rotações por minuto, o avião deve ir a 75 metros por segundo e a ponta da hélice não pode ultrapassar 270 metros por segundo. A gente vai precisar usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta, para descobrir o raio máximo que a hélice pode ter e a aceleração na ponta dessa hélice.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter as rotações por minuto (rot/min) para radianos por segundo (rad/s), porque é mais fácil trabalhar com radianos quando lidamos com movimento circular.
A fórmula que vamos usar é:
Onde
é a velocidade angular em rad/s.
Passo 3
Vamos calcular
usando os valores fornecidos:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que a velocidade tangencial
na ponta da hélice está relacionada ao raio
e à velocidade angular
pela fórmula:
Queremos que
, então vamos isolar
:
Passo 5
Vamos calcular o raio máximo usando
e
:
Então, o raio máximo que a hélice pode ter é aproximadamente 1,075 metros.
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta
na ponta da hélice. A fórmula para aceleração centrípeta é:
Vamos usar
e
.
Passo 7
Calculando
:
Então, a aceleração na ponta da hélice é aproximadamente 67.916,8 metros por segundo ao quadrado.
Resposta
(a) O raio máximo que a hélice pode ter é de aproximadamente 1,075 metros.
(b) Com esse raio, a aceleração da extremidade da hélice é de cerca de 67.916,8 m/s².
(b) Com esse raio, a aceleração da extremidade da hélice é de cerca de 67.916,8 m/s².