Questão 2. Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a . (Figura 2). A velocidade do avião deve ser de , e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar . (Isso é cerca de da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruido muito alto.) (a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? (b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use: . .
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a hélice de um avião! O enunciado fala que a hélice gira a 2400 rotações por minuto, o avião deve ir a 75 metros por segundo e a ponta da hélice não pode ultrapassar 270 metros por segundo. A gente vai precisar usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e aceleração centrípeta, para descobrir o raio máximo que a hélice pode ter e a aceleração na ponta dessa hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter as rotações por minuto (rot/min) para radianos por segundo (rad/s), porque é mais fácil trabalhar com radianos quando lidamos com movimento circular.
A fórmula que vamos usar é:
Onde é a velocidade angular em rad/s.

Passo 3

Vamos calcular usando os valores fornecidos:
Então, .

Passo 4

Sabemos que a velocidade tangencial na ponta da hélice está relacionada ao raio e à velocidade angular pela fórmula:
Queremos que , então vamos isolar :

Passo 5

Vamos calcular o raio máximo usando e :
Então, o raio máximo que a hélice pode ter é aproximadamente 1,075 metros.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta na ponta da hélice. A fórmula para aceleração centrípeta é:
Vamos usar e .

Passo 7

Calculando :
Então, a aceleração na ponta da hélice é aproximadamente 67.916,8 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

(a) O raio máximo que a hélice pode ter é de aproximadamente 1,075 metros.
(b) Com esse raio, a aceleração da extremidade da hélice é de cerca de 67.916,8 m/s².

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