Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a
para determinar as componentes cilíndricas da aceleração
de uma partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula, ou seja,
, dado que a posição dela está em coordenadas cilíndricas
. Então, vamos trabalhar com as derivadas de posição em coordenadas cilíndricas para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a posição
é expressa em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente. Note que
, o vetor unitário na direção angular, também entra na equação quando derivamos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade
derivando a posição em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
, lembrando que
depende de
, então sua derivada traz
com um fator de
.
Passo 4
Seguimos para a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Aqui, aplicamos a derivada novamente, considerando que tanto
quanto
são funções do tempo. O termo
surge da derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos detalhar cada componente:
-
Componente radial (
): Aqui,é a aceleração na direção radial, e representa a aceleração centrípeta devido ao movimento angular. -
Componente angular (
): Esse termo inclui a aceleração tangenciale o efeito Coriolis . -
Componente vertical (
): Simplesmente a aceleração na direção z.
Passo 6
Então, juntando tudo, as componentes cilíndricas da aceleração
são:
Resposta
As componentes cilíndricas da aceleração são:
Exercícios relacionados
Questão 4. Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa
e raio
(Figura 4). Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata, à medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade
do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância
. (b) Ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio. Considere o momento de inércia do cilindro igual a
.
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para
, z, em termos das três coordenadas cartesianas
e
. Explique o que é
. Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam
em vez de
. Explique por que este uso de
não é apropriado.
Questão 2. Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a
. (Figura 2). A velocidade do avião deve ser de
, e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar
. (Isso é cerca de
da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruido muito alto.) (a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? (b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use:
.
.
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante
e a uma altitude
, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. A que distância antes do barco (medida horizontalmente) o piloto deve largar o pacote se este deve acertar o barco? Qual é essa distância se
?