Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a para determinar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula, ou seja, , dado que a posição dela está em coordenadas cilíndricas . Então, vamos trabalhar com as derivadas de posição em coordenadas cilíndricas para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a posição é expressa em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente. Note que , o vetor unitário na direção angular, também entra na equação quando derivamos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade derivando a posição em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar , lembrando que depende de , então sua derivada traz com um fator de .

Passo 4

Seguimos para a aceleração , que é a derivada da velocidade:
Aqui, aplicamos a derivada novamente, considerando que tanto quanto são funções do tempo. O termo surge da derivada de em relação a .

Passo 5

Vamos detalhar cada componente:
  • Componente radial ( ):
    Aqui, é a aceleração na direção radial, e representa a aceleração centrípeta devido ao movimento angular.
  • Componente angular ( ):
    Esse termo inclui a aceleração tangencial e o efeito Coriolis .
  • Componente vertical ( ):
    Simplesmente a aceleração na direção z.

Passo 6

Então, juntando tudo, as componentes cilíndricas da aceleração são:

Resposta

As componentes cilíndricas da aceleração são:

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Questão 4. Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa e raio (Figura 4). Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata, à medida que o cilindro cai e gira. (a) Use considerações de energia para achar a velocidade do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância . (b) Ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio. Considere o momento de inércia do cilindro igual a .
Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para , z, em termos das três coordenadas cartesianas e . Explique o que é . Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam em vez de . Explique por que este uso de não é apropriado.
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Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
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