Seja a posição de um ponto P em três dimensões dada pelo vetor r=(x, y, z) em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, rho, phi, z, as quais são definidas assim: seja P^prime a projeção de P sobre o plano x y; isto é, P^prime tem coordenadas Cartesianas ( x, y, 0 ). Então, rho e phi são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de P^prime no plano x y, enquanto z é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a t para determinar as componentes cilíndricas da aceleração a=ddotr de uma partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula, ou seja, a = ddotr, dado que a posição dela está em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). Então, vamos trabalhar com as derivadas de posição em coordenadas cilíndricas para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a posição r é expressa em coordenadas cilíndricas:
r = rho,erho + z,ez
Aqui, erho e ez são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente. Note que ephi, o vetor unitário na direção angular, também entra na equação quando derivamos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade v = dotr derivando a posição em relação ao tempo:
v = dotrho,erho + rho,dotphi,ephi + dotz,ez
Aqui, usamos a regra do produto para derivar rho,erho, lembrando que erho depende de phi, então sua derivada traz ephi com um fator de dotphi.

Passo 4

Seguimos para a aceleração a = ddotr, que é a derivada da velocidade:
a = (ddotrho - rho,dotphi^2),erho + (rho,ddotphi + 2,dotrho,dotphi),ephi + ddotz,ez
Aqui, aplicamos a derivada novamente, considerando que tanto rho quanto phi são funções do tempo. O termo - rho,dotphi^2 surge da derivada de rho,dotphi,ephi em relação a erho.

Passo 5

Vamos detalhar cada componente:
  • Componente radial ( erho):
    arho = ddotrho - rho,dotphi^2
    Aqui, ddotrho é a aceleração na direção radial, e - rho,dotphi^2 representa a aceleração centrípeta devido ao movimento angular.
  • Componente angular ( ephi):
    aphi = rho,ddotphi + 2,dotrho,dotphi
    Esse termo inclui a aceleração tangencial rho,ddotphi e o efeito Coriolis 2,dotrho,dotphi.
  • Componente vertical ( ez):
    az = ddotz
    Simplesmente a aceleração na direção z.

Passo 6

Então, juntando tudo, as componentes cilíndricas da aceleração a são:
a = (ddotrho - rho,dotphi^2),erho + (rho,ddotphi + 2,dotrho,dotphi),ephi + ddotz,ez

Resposta

As componentes cilíndricas da aceleração são:
a = (ddotrho - rho,dotphi^2),erho + (rho,ddotphi + 2,dotrho,dotphi),ephi + ddotz,ez

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