Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a
para determinar as componentes cilíndricas da aceleração
de uma partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula, ou seja,
, dado que a posição dela está em coordenadas cilíndricas
. Então, vamos trabalhar com as derivadas de posição em coordenadas cilíndricas para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a posição
é expressa em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente. Note que
, o vetor unitário na direção angular, também entra na equação quando derivamos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade
derivando a posição em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
, lembrando que
depende de
, então sua derivada traz
com um fator de
.
Passo 4
Seguimos para a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Aqui, aplicamos a derivada novamente, considerando que tanto
quanto
são funções do tempo. O termo
surge da derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos detalhar cada componente:
-
Componente radial (
): Aqui,é a aceleração na direção radial, e representa a aceleração centrípeta devido ao movimento angular. -
Componente angular (
): Esse termo inclui a aceleração tangenciale o efeito Coriolis . -
Componente vertical (
): Simplesmente a aceleração na direção z.
Passo 6
Então, juntando tudo, as componentes cilíndricas da aceleração
são:
Resposta
As componentes cilíndricas da aceleração são: