— Questão 9. Os limites abaixo estão dando indeterminações, então quando possível utilise operações algébricas para calcular os limites. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
© lim x 3 3-xraizx-raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular o limite quando se aproxima de 3 na expressão . Isso está relacionado ao estudo de limites, especialmente quando temos indeterminações do tipo . Para resolver, vamos usar operações algébricas, como a racionalização, para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 3 - 3raiz3 - raiz3 = 00 na expressão:
Isso é uma indeterminação, ou seja, não conseguimos encontrar o limite diretamente. Precisamos manipular a expressão para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver indeterminações envolvendo raízes é a racionalização. Nesse caso, vamos racionalizar o denominador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de é .

Passo 4

Vamos multiplicar a expressão original pela fração 3 - xraizx - raiz3 times raizx + raiz3raizx + raiz3 = (3 - x)(raizx + raiz3)(raizx)^2 - (raiz3)^2 :

Passo 5

Agora, simplificamos o denominador usando a identidade (raizx)^2 - (raiz3)^2 = x - 3 :
(3 - x)(raizx + raiz3)x - 3
Então, a expressão fica:

Passo 6

Observe que -(x - 3)(raizx + raiz3)x - 3 = -(raizx + raiz3) é igual a . Podemos reescrever a fração:
Aqui, cancelamos no numerador e denominador.

Passo 7

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo -(raiz3 + raiz3) = -2raiz3 :

Resposta

O limite é .

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