— Questão 9. Os limites abaixo estão dando indeterminações, então quando possível utilise operações algébricas para calcular os limites. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(n) lim x 2 x^2-4x^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que está dando aquela indeterminação, o famoso 0/0. A questão envolve limites de funções racionais e vamos usar operações algébricas, como fatoração, para simplificar e encontrar o limite. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que sabemos que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador: x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 . Esse trinômio é um quadrado perfeito, pois:

Passo 4

Com as fatorações feitas, podemos reescrever o limite:
limx 2 (x - 2)(x + 2)(x - 2)^2
Aqui, notamos que (x - 2)(x + 2)(x - 2)^2 = x + 2x - 2 aparece no numerador e no denominador. Podemos simplificar:

Passo 5

Agora, o limite ficou mais simples:
limx 2 x + 2x - 2
Se tentarmos substituir 2 + 22 - 2 = 40 diretamente, teremos:
Isso indica que o limite tende a infinito, mas precisamos verificar de qual lado está se aproximando de 2.

Passo 6

Vamos calcular os limites laterais:
  • Lado Direito ( x + 2x - 2 40^+ = +infty ):
    x + 2x - 2 40^- = -infty
  • Lado Esquerdo ( ):

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite geral não existe ou é infinito de forma não definida.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais tendem a e .

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