— Questão 9. Os limites abaixo estão dando indeterminações, então quando possível utilise operações algébricas para calcular os limites. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
® lim t 2 t+2t^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício é de cálculo, especificamente de limites. Para resolver, vamos usar operações algébricas para simplificar a expressão e calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. A diferença de quadrados é uma técnica que transforma em .

Passo 3

Aplicando a fatoração no denominador, temos:
t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)
Então, a expressão original fica:
t + 2(t - 2)(t + 2)

Passo 4

Agora, observamos que está no numerador e também no denominador. Podemos simplificar esses termos, cancelando (desde que , o que não é o caso aqui, pois está se aproximando de 2).

Passo 5

Após cancelar 1t - 2 , a expressão simplificada fica:
Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando se aproxima de 2.

Passo 6

Substituindo 12 - 2 = 10 por 2 na expressão simplificada:
Aqui, estamos dividindo 1 por zero, o que significa que o limite tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção pela qual se aproxima de 2.

Passo 7

Vamos verificar os limites laterais:
  • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ), é positivo e muito pequeno, então tende a .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), é negativo e muito pequeno, então tende a .

Resposta

O limite não existe porque tende a pela direita e pela esquerda.

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