_ Questão 5. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t² + 7, se t < 5; -8t + 72, se t ≥ 5 }
Assim
(b) Responda o tempo que a colônia leva para se extinguir

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir em quanto tempo a colônia de bactérias se extingue, ou seja, quando a população chega a zero. O que temos aqui é uma função que descreve a população das bactérias em milhares ao longo do tempo, dividida em duas partes dependendo se o tempo é menor que 5 minutos ou maior ou igual a 5 minutos. Para resolver isso, vamos encontrar o valor de que faz a função igual a zero em cada uma dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando :
Queremos saber se existe algum tempo menor que 5 minutos que faz .

Passo 3

Vamos resolver a equação:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Agora, percebemos que estamos tentando encontrar um número real cujo quadrado é negativo, o que não existe. Portanto, não há solução nessa parte da função. Isso significa que a extinção não ocorre quando .

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função para :
Aqui, queremos encontrar o tempo que faz .

Passo 5

Resolvendo a equação:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por -8:
Então, minutos.

Resposta

A colônia de bactérias se extingui após 9 minutos.

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