Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-2 y+z,-3 x+y-z, 2 x-y)
T é sobrejetora? JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para saber se a transformação linear T(x, y, z) = (x - 2y + z, -3x + y - z, 2x - y) , definida por
é sobrejetora. Isso significa verificar se todo vetor em pode ser atingido por essa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, matrizes associadas e o conceito de imagem ou alcance da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 1 & -2 & 1 -3 & 1 & -1 2 & -1 & 0 como uma matriz. Cada coordenada da imagem de corresponde a uma combinação linear das coordenadas . Assim, podemos escrever a matriz associada a como:

Passo 3

Agora, para verificar se é sobrejetora, precisamos saber se a imagem de cobre todo o espaço . Isso acontece se a matriz tiver posto igual a 3, ou seja, se as colunas de forem linearmente independentes. Se o posto for menor que 3, então não será sobrejetora.

Passo 4

Vamos calcular o posto da matriz A = 1 & -2 & 1 -3 & 1 & -1 2 & -1 & 0 . Para isso, podemos transformar -3 + 3*1 = 0; 1 + 3*(-2) = -5; -1 + 3*1 = 2 em uma matriz triangular usando operações elementares e ver quantas linhas não nulas temos no final.
Começando com:
2 - 2*1 = 0; -1 - 2*(-2) = 3; 0 - 2*1 = -2
Primeiro, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivot (1 na primeira linha e primeira coluna):
  • Linha 2 = Linha 2 + 3 * Linha 1:
1 & -2 & 1 0 & -5 & 2 0 & 3 & -2
  • Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Continuando, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivot (-5 na segunda linha e segunda coluna):
  • Linha 3 = Linha 3 + (3/5) * Linha 2:
0 + 0 = 0; 3 + (3/5)*(-5) = 0; -2 + (3/5)*2 = -2 + 65 = -45
A matriz agora fica:
1 & -2 & 1 0 & -5 & 2 0 & 0 & -45

Passo 6

Observamos que todas as linhas possuem pivôs (elementos não nulos na diagonal principal). Isso significa que o posto da matriz é 3, que é igual à dimensão do espaço de chegada .

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetora porque sua matriz associada tem posto 3, cobrindo todo o espaço .

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