Questão 2 - Max Born em 1928 interpretou que o módulo quadrado da função como uma densidade de probabilidade de se encontrar uma partícula quântica. Em três dimensões e coordenadas cartesianas temos: onde . Mostre que a densidade de probabilidade obedece a uma equação de continuidade partial rhopartial t+nabla cdot J=0 onde J=i hbar2 m(psi nabla psi^c-psi^c nabla psirang<= e o índice c significa complexo conjugado.
Passo 1
Vamos resumir a questão: Max Born interpretou que o módulo ao quadrado da função de onda, , representa a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula quântica em uma dada posição e tempo. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa densidade de probabilidade, , satisfaz uma equação de continuidade, que relaciona a variação temporal de com o fluxo de probabilidade . Para resolver isso, vamos precisar utilizar a equação de Schrödinger e conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade é definida como:
rho(r, t) = |psi(r, t)|^2 = psi(r, t) psi^*(r, t)
onde partial rhopartial t = partialpartial t (psi psi^*) = partial psipartial t psi^* + psi partial psi^*partial t é o conjugado complexo de . Para encontrar a variação temporal de , derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a equação de Schrödinger, que para uma partícula livre é dada por:
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m nabla^2 psi
E seu conjugado complexo:
-ihbar partial psi^*partial t = -hbar^22m nabla^2 psi^*
Resolvendo para partial psipartial t = 1ihbar ( -hbar^22m nabla^2 psi ) = -ihbar2m nabla^2 psi e partial psi^*partial t = -1ihbar ( -hbar^22m nabla^2 psi^* ) = ihbar2m nabla^2 psi^* :
Passo 4
Substituindo essas expressões na derivada de partial rhopartial t = ( -ihbar2m nabla^2 psi ) psi^* + psi ( ihbar2m nabla^2 psi^* ) :