Questão 2 - Max Born em 1928 interpretou que o módulo quadrado da função como uma densidade de probabilidade de se encontrar uma partícula quântica. Em três dimensões e coordenadas cartesianas temos: d P(r, t)=rho(r, t) d x d y d z onde rho equiv|psi(r, t)^2|. Mostre que a densidade de probabilidade obedece a uma equação de continuidade partial rhopartial t+nabla cdot J=0 onde J=i hbar2 m(psi nabla psi^c-psi^c nabla psirang<= e o índice c significa complexo conjugado.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Max Born interpretou que o módulo ao quadrado da função de onda, , representa a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula quântica em uma dada posição e tempo. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa densidade de probabilidade, , satisfaz uma equação de continuidade, que relaciona a variação temporal de com o fluxo de probabilidade . Para resolver isso, vamos precisar utilizar a equação de Schrödinger e conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade é definida como:
rho(r, t) = |psi(r, t)|^2 = psi(r, t) psi^*(r, t)
onde partial rhopartial t = partialpartial t (psi psi^*) = partial psipartial t psi^* + psi partial psi^*partial t é o conjugado complexo de . Para encontrar a variação temporal de , derivamos ambos os lados em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação de Schrödinger, que para uma partícula livre é dada por:
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m nabla^2 psi
E seu conjugado complexo:
-ihbar partial psi^*partial t = -hbar^22m nabla^2 psi^*
Resolvendo para partial psipartial t = 1ihbar ( -hbar^22m nabla^2 psi ) = -ihbar2m nabla^2 psi e partial psi^*partial t = -1ihbar ( -hbar^22m nabla^2 psi^* ) = ihbar2m nabla^2 psi^* :

Passo 4

Substituindo essas expressões na derivada de partial rhopartial t = ( -ihbar2m nabla^2 psi ) psi^* + psi ( ihbar2m nabla^2 psi^* ) :
partial rhopartial t = -ihbar2m psi^* nabla^2 psi + ihbar2m psi nabla^2 psi^*
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos manipular os termos para relacioná-los com o divergente de um fluxo de probabilidade psi^* nabla^2 psi - psi nabla^2 psi^* = nabla cdot (psi^* nabla psi - psi nabla psi^*) . Usando identidade vetorial, sabemos que:
partial rhopartial t = -ihbar2m (psi^* nabla^2 psi - psi nabla^2 psi^*) = -ihbar2m nabla cdot (psi^* nabla psi - psi nabla psi^*)
Portanto, podemos reescrever a derivada temporal de :

Passo 6

Comparando com a forma da equação de continuidade:
partial rhopartial t + nabla cdot J = 0
Podemos identificar o fluxo de probabilidade J = ihbar2m (psi nabla psi^* - psi^* nabla psi) como:

Resposta

Mostramos que a densidade de probabilidade partial rhopartial t + nabla cdot J = 0 satisfaz a equação de continuidade:
J = ihbar2m ( psi nabla psi^* - psi^* nabla psi )
onde o fluxo de probabilidade é dado por:

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