Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que y1 é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução y2 linearmente independente da primeira:
a. 2 x^2 y'' - x y' - 9 y = 0, y1(x) = x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Método da Redução de Ordem para resolver uma equação diferencial do tipo . Já nos deram uma solução e queremos encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender como funciona a redução de ordem e usar algumas técnicas de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma solução da equação diferencial dada. Isso significa que, ao substituir e suas derivadas na equação, ela deve satisfazer a igualdade.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Viu só? A conta fechou, então é mesmo uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos usar o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução . Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial e queremos achar outra que não seja simplesmente um múltiplo dessa primeira.
A ideia é procurar na forma:
onde é uma função a ser determinada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Simplificando:
Substituindo , e na equação diferencial:
Distribuindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples para :
Isso é de uma equação linear de primeira ordem para . Vamos fazer uma substituição:
Substituindo:
Dividindo por :
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando:
Lembrando que , temos:
Integrando novamente:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar :
Podemos simplificar a constante, então:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a segunda solução :
Para simplificar, podemos absorver a constante na solução, então temos:
Essa função é linearmente independente de , pois não é múltipla da primeira.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é .

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