Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que
é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução
linearmente independente da primeira:
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Método da Redução de Ordem para resolver uma equação diferencial do tipo
. Já nos deram uma solução
e queremos encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender como funciona a redução de ordem e usar algumas técnicas de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
é realmente uma solução da equação diferencial dada. Isso significa que, ao substituir
e suas derivadas na equação, ela deve satisfazer a igualdade.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Viu só? A conta fechou, então
é mesmo uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos usar o Método da Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução
. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial e queremos achar outra que não seja simplesmente um múltiplo dessa primeira.
A ideia é procurar
na forma:
onde
é uma função a ser determinada.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Simplificando:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Distribuindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples para
:
Isso é de uma equação linear de primeira ordem para
. Vamos fazer uma substituição:
Substituindo:
Dividindo por
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando:
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar
:
Podemos simplificar a constante, então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a segunda solução
:
Para simplificar, podemos absorver a constante
na solução, então temos:
Essa função é linearmente independente de
, pois não é múltipla da primeira.
Resposta
A segunda solução linearmente independente é
.
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