Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
{x1' = 2 x1 - x2, x2' = 3 x1 - 2 x2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa encontrar a solução geral desse sistema e, se tiverem condições iniciais, também uma solução particular. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. Temos:
Isso pode ser escrito como , onde:

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são soluções da equação característica:
Vamos calcular isso:
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação . Então, um autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução terá a forma:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

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